Exercise:
Seien a b reelle Zahlen f:ab rightarrow mathbbR eine Funktion n in mathbbN h fracb-an die Schrittweite und x_l a+lh für l in ...n. abcliste abc Rechtecksregel Falls f stetig differenzierbar ist dann gilt _a^b fx ddx hfx_+...+fx_n-+F_ wobei der Fehler F_ durch |F_| leq fracb-a^ntextmax_xin ab|f'x| beschränkt ist. abc Sehnentrapezregel Falls f zweimal stetig differenzierbar ist dann gilt _a^b fx ddx hleftfracfx_+fx_+...+fracfx_n-+fx_nright+F_ frachfx_+fx_+...+fx_n-+fx_nright+F_ wobei der Fehler F_ durch |F_| leq fracb-a^n^textmax_xin ab|f''x| beschränkt ist. abc Sion-Regel Falls f viermal stetig differenzierbar ist dann gilt _a^b fx ddx frachfx_+fx_+fx_+fx_+fx_+... &+fx_n-+fx_n-+fx_n+F_ wobei der Fehler F_ durch |F_| leq fracb-a^n^textmax_xin ab|f^x| beschränkt ist. abcliste Insbesondere verhält sich der Fehler für das Rechtecksverfahren wie mathcalO_fn^- für nrightarrow infty für das Sehnentrapezverfahren wie mathcalO_fn^- für nrightarrow infty und für das Sionverfahren wie mathcalO_fn^- für nrightarrow infty. Es ist anzumerken dass die Konstanten in obigen Abschätzungen nicht optimal sind. Alle drei obigen Approximationsverfahren sind sogenannte Newton-Cotes-Verfahren. Die wesentliche Idee eines solchen Verfahrs ist die folge: zuerst schreibt man nach Intervalladditivität _a^b fx ddx _l^n- _x_l^x_l+fxddx. Nun approximiert man jedes obige Integralstück _x_l^x_l+fxddx durch einen Ausdruck der Form _k^K w_k und Stützpunkte z_...z_K in x_lx_l+. Beispielsweise nimmt man für die Sehnentrapezregel zwei Stützpunkte K nämlich die beiden Endpunkte des Intervalls x_lx_l+ mit den Gewichten w_w_frac. Die Summe der Fehler die auf den Stücken _x_l^x_l+fxddx zustandekommen ergeben dann den Gesamtfehler der Approximation. Obiger Satz gibt demanach an wie dieser Fehler kontrolliert werden kann.

Solution:
Beweis. Für a verwet man den Mittelwertsatz wonach es zu l in ...n- und x in x_lx_l+ ein xi_x in x_lx_l+ gibt mit fx-fx_lf'xi_xx-x_l. Insbesondere gilt |fx-fx_l||f'xi_x|x-x_l leq x_x_ltextmax_tin ab|f't|. Damit erhält man left|_x_l^x_l+fxddx-fx_lhright| &leq _x_l^x_l+ |fx-fx_l|ddx leq textmax_t in ab|f't|_x_l^x_l+x-x_lddx &leq frach^textmax_t in ab|f't|. Durch Summation Intervalladditivität des Integrals und die Dreiecksungleichung erhält man left|_a^bfxddx-_l^n-fx_lhright| &leq fracnh^textmax_t in ab|f't|fracb-a^ntextmax_t in ab|f't|. Für b betrachten wir zuerst zu l in ...n- die Endpunkte x_- x_l und x_+ x_l+ und den Mittelpunkt overlinex fracx_-+x_+ des Intervall x_-x_+. Des Weiteren definiert man den Wert M_ textmax_x_in ab|f''x|. Nach Korollar . gilt für die Approximation durch das erste Taylor-Polynom um overlinex |ft-foverlinex+f'overlinext-overlinex| leq fracM_!|t-overlinex|^ leq fracM_leftfrachright^ fracM_h^ für alle t in x_-x_+. Man verwet dies für die Endpunkte tx_- und tx_+ des Intervalls x_-x_+ und erhält aus der Dreiecksungleichung left| fracfx_-+fx_+-foverlinex right| frac|fx_--foverlinex-f'overlinexx_- -overlinex+fx_+-foverlinex-f'overlinexx_+-overlinex|leq fracM_h^ da sich der lineare Term wegen x_- - overlinex -x_+-overlinex aufhebt. Aus demselben Grund erhält man left| _x_-^x_+ ftddt-foverlinexh right| left| _x_-^x_+ ft-foverlinexddt right| left| _x_-^x_+ ft-foverlinex+f'overlinext-overlinexddt right| &leq fracM_ _x_-^x_+ t-overlinex^ddt _-frach^frach s^dds fracM_h^ Zusammenfass gilt also für lin ...n- und overlinex_l fracx_l+x_l+ left|foverlinex_l-fracfx_l+fx_l+ right| leq fracM_h^ left|_x_l^x_l+ ftddt-foverlinex_lh right| leq fracM_h^ Man multipliziert mit h und miert sowohl als auch über l in ...n-. Daraus folgt mit Intervalladditivität des Riemann-Integrals left|_a^b fxddx-h_l^n-fracfx_l+fx_l+overlinex_lh right| leq nleftfracM_h^+fracM_h^ right fracb-a^ M_n^ Für c betrachtet man wieder zuerst zu k in ...fracn- die Endpunkte x_- x_k und x_+ x_k+ und den Mittelpunkt overlinexx_k+ des Intervalls x_-x_+ und verwet Korollar . bei overlinex. Dies ergibt für tin x_-x_+ left|ft-leftfoverlinex+f'overlinext-overlinex+fracf''overlinext-overlinex^+fracf'''overlinext-overlinex^ right| leq fracM_t-overlinex^! leq fracM_h^! wobei M_textmax_xin ab|f^x|. Durch Integration über x_-x_+ erhält man left|_x_-^x_+ ftddt-lefthfxoverlinex+fracf''overlinex _-h^h s^ ddsrightright|leq fracM_! _-h^h s^ dds oder auch left|_x_-^x_+ ftddt-lefthfxoverlinex+fracf''overlinexh^ rightright|leq fracM_h^ Setzt man tx_- und tx_+ in Gleichung so erhält man frachleft|fx_-+fx_+-foverlinex+f''overlinexh^right| leq frach M_h^ fracM_h^ da sich die linearen und kubischen Terme gegenseitig aufheben. Daher gilt left| _x_-^x_+ ft ddt -frachfx_-+foverlinex+fx_+right| left| _x_-^x_+ ft ddt -frachfoverlinex+f''overlinexh^+frachfoverlinex+f''overlinexh^-frachfx_-+fx_+right| &leq fracM_h^+fracM_h^ fracM_h^ Nach Summation über kin...fracn- ergibt sich in Folge ... der Gewichte für die Funktionswerte in der Sion-Regel wie im Satz und die Abschätzung genau wie im Beweis von b oben.