Numerische Integration
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
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Exercise:
Seien a b reelle Zahlen f:ab rightarrow mathbbR eine Funktion n in mathbbN h fracb-an die Schrittweite und x_l a+lh für l in ...n. abcliste abc Rechtecksregel Falls f stetig differenzierbar ist dann gilt _a^b fx ddx hfx_+...+fx_n-+F_ wobei der Fehler F_ durch |F_| leq fracb-a^ntextmax_xin ab|f'x| beschränkt ist. abc Sehnentrapezregel Falls f zweimal stetig differenzierbar ist dann gilt _a^b fx ddx hleftfracfx_+fx_+...+fracfx_n-+fx_nright+F_ frachfx_+fx_+...+fx_n-+fx_nright+F_ wobei der Fehler F_ durch |F_| leq fracb-a^n^textmax_xin ab|f''x| beschränkt ist. abc Sion-Regel Falls f viermal stetig differenzierbar ist dann gilt _a^b fx ddx frachfx_+fx_+fx_+fx_+fx_+... &+fx_n-+fx_n-+fx_n+F_ wobei der Fehler F_ durch |F_| leq fracb-a^n^textmax_xin ab|f^x| beschränkt ist. abcliste Insbesondere verhält sich der Fehler für das Rechtecksverfahren wie mathcalO_fn^- für nrightarrow infty für das Sehnentrapezverfahren wie mathcalO_fn^- für nrightarrow infty und für das Sionverfahren wie mathcalO_fn^- für nrightarrow infty. Es ist anzumerken dass die Konstanten in obigen Abschätzungen nicht optimal sind. Alle drei obigen Approximationsverfahren sind sogenannte Newton-Cotes-Verfahren. Die wesentliche Idee eines solchen Verfahrs ist die folge: zuerst schreibt man nach Intervalladditivität _a^b fx ddx _l^n- _x_l^x_l+fxddx. Nun approximiert man jedes obige Integralstück _x_l^x_l+fxddx durch einen Ausdruck der Form _k^K w_k und Stützpunkte z_...z_K in x_lx_l+. Beispielsweise nimmt man für die Sehnentrapezregel zwei Stützpunkte K nämlich die beiden Endpunkte des Intervalls x_lx_l+ mit den Gewichten w_w_frac. Die Summe der Fehler die auf den Stücken _x_l^x_l+fxddx zustandekommen ergeben dann den Gesamtfehler der Approximation. Obiger Satz gibt demanach an wie dieser Fehler kontrolliert werden kann.
Solution:
Beweis. Für a verwet man den Mittelwertsatz wonach es zu l in ...n- und x in x_lx_l+ ein xi_x in x_lx_l+ gibt mit fx-fx_lf'xi_xx-x_l. Insbesondere gilt |fx-fx_l||f'xi_x|x-x_l leq x_x_ltextmax_tin ab|f't|. Damit erhält man left|_x_l^x_l+fxddx-fx_lhright| &leq _x_l^x_l+ |fx-fx_l|ddx leq textmax_t in ab|f't|_x_l^x_l+x-x_lddx &leq frach^textmax_t in ab|f't|. Durch Summation Intervalladditivität des Integrals und die Dreiecksungleichung erhält man left|_a^bfxddx-_l^n-fx_lhright| &leq fracnh^textmax_t in ab|f't|fracb-a^ntextmax_t in ab|f't|. Für b betrachten wir zuerst zu l in ...n- die Endpunkte x_- x_l und x_+ x_l+ und den Mittelpunkt overlinex fracx_-+x_+ des Intervall x_-x_+. Des Weiteren definiert man den Wert M_ textmax_x_in ab|f''x|. Nach Korollar . gilt für die Approximation durch das erste Taylor-Polynom um overlinex |ft-foverlinex+f'overlinext-overlinex| leq fracM_!|t-overlinex|^ leq fracM_leftfrachright^ fracM_h^ für alle t in x_-x_+. Man verwet dies für die Endpunkte tx_- und tx_+ des Intervalls x_-x_+ und erhält aus der Dreiecksungleichung left| fracfx_-+fx_+-foverlinex right| frac|fx_--foverlinex-f'overlinexx_- -overlinex+fx_+-foverlinex-f'overlinexx_+-overlinex|leq fracM_h^ da sich der lineare Term wegen x_- - overlinex -x_+-overlinex aufhebt. Aus demselben Grund erhält man left| _x_-^x_+ ftddt-foverlinexh right| left| _x_-^x_+ ft-foverlinexddt right| left| _x_-^x_+ ft-foverlinex+f'overlinext-overlinexddt right| &leq fracM_ _x_-^x_+ t-overlinex^ddt _-frach^frach s^dds fracM_h^ Zusammenfass gilt also für lin ...n- und overlinex_l fracx_l+x_l+ left|foverlinex_l-fracfx_l+fx_l+ right| leq fracM_h^ left|_x_l^x_l+ ftddt-foverlinex_lh right| leq fracM_h^ Man multipliziert mit h und miert sowohl als auch über l in ...n-. Daraus folgt mit Intervalladditivität des Riemann-Integrals left|_a^b fxddx-h_l^n-fracfx_l+fx_l+overlinex_lh right| leq nleftfracM_h^+fracM_h^ right fracb-a^ M_n^ Für c betrachtet man wieder zuerst zu k in ...fracn- die Endpunkte x_- x_k und x_+ x_k+ und den Mittelpunkt overlinexx_k+ des Intervalls x_-x_+ und verwet Korollar . bei overlinex. Dies ergibt für tin x_-x_+ left|ft-leftfoverlinex+f'overlinext-overlinex+fracf''overlinext-overlinex^+fracf'''overlinext-overlinex^ right| leq fracM_t-overlinex^! leq fracM_h^! wobei M_textmax_xin ab|f^x|. Durch Integration über x_-x_+ erhält man left|_x_-^x_+ ftddt-lefthfxoverlinex+fracf''overlinex _-h^h s^ ddsrightright|leq fracM_! _-h^h s^ dds oder auch left|_x_-^x_+ ftddt-lefthfxoverlinex+fracf''overlinexh^ rightright|leq fracM_h^ Setzt man tx_- und tx_+ in Gleichung so erhält man frachleft|fx_-+fx_+-foverlinex+f''overlinexh^right| leq frach M_h^ fracM_h^ da sich die linearen und kubischen Terme gegenseitig aufheben. Daher gilt left| _x_-^x_+ ft ddt -frachfx_-+foverlinex+fx_+right| left| _x_-^x_+ ft ddt -frachfoverlinex+f''overlinexh^+frachfoverlinex+f''overlinexh^-frachfx_-+fx_+right| &leq fracM_h^+fracM_h^ fracM_h^ Nach Summation über kin...fracn- ergibt sich in Folge ... der Gewichte für die Funktionswerte in der Sion-Regel wie im Satz und die Abschätzung genau wie im Beweis von b oben.
Seien a b reelle Zahlen f:ab rightarrow mathbbR eine Funktion n in mathbbN h fracb-an die Schrittweite und x_l a+lh für l in ...n. abcliste abc Rechtecksregel Falls f stetig differenzierbar ist dann gilt _a^b fx ddx hfx_+...+fx_n-+F_ wobei der Fehler F_ durch |F_| leq fracb-a^ntextmax_xin ab|f'x| beschränkt ist. abc Sehnentrapezregel Falls f zweimal stetig differenzierbar ist dann gilt _a^b fx ddx hleftfracfx_+fx_+...+fracfx_n-+fx_nright+F_ frachfx_+fx_+...+fx_n-+fx_nright+F_ wobei der Fehler F_ durch |F_| leq fracb-a^n^textmax_xin ab|f''x| beschränkt ist. abc Sion-Regel Falls f viermal stetig differenzierbar ist dann gilt _a^b fx ddx frachfx_+fx_+fx_+fx_+fx_+... &+fx_n-+fx_n-+fx_n+F_ wobei der Fehler F_ durch |F_| leq fracb-a^n^textmax_xin ab|f^x| beschränkt ist. abcliste Insbesondere verhält sich der Fehler für das Rechtecksverfahren wie mathcalO_fn^- für nrightarrow infty für das Sehnentrapezverfahren wie mathcalO_fn^- für nrightarrow infty und für das Sionverfahren wie mathcalO_fn^- für nrightarrow infty. Es ist anzumerken dass die Konstanten in obigen Abschätzungen nicht optimal sind. Alle drei obigen Approximationsverfahren sind sogenannte Newton-Cotes-Verfahren. Die wesentliche Idee eines solchen Verfahrs ist die folge: zuerst schreibt man nach Intervalladditivität _a^b fx ddx _l^n- _x_l^x_l+fxddx. Nun approximiert man jedes obige Integralstück _x_l^x_l+fxddx durch einen Ausdruck der Form _k^K w_k und Stützpunkte z_...z_K in x_lx_l+. Beispielsweise nimmt man für die Sehnentrapezregel zwei Stützpunkte K nämlich die beiden Endpunkte des Intervalls x_lx_l+ mit den Gewichten w_w_frac. Die Summe der Fehler die auf den Stücken _x_l^x_l+fxddx zustandekommen ergeben dann den Gesamtfehler der Approximation. Obiger Satz gibt demanach an wie dieser Fehler kontrolliert werden kann.
Solution:
Beweis. Für a verwet man den Mittelwertsatz wonach es zu l in ...n- und x in x_lx_l+ ein xi_x in x_lx_l+ gibt mit fx-fx_lf'xi_xx-x_l. Insbesondere gilt |fx-fx_l||f'xi_x|x-x_l leq x_x_ltextmax_tin ab|f't|. Damit erhält man left|_x_l^x_l+fxddx-fx_lhright| &leq _x_l^x_l+ |fx-fx_l|ddx leq textmax_t in ab|f't|_x_l^x_l+x-x_lddx &leq frach^textmax_t in ab|f't|. Durch Summation Intervalladditivität des Integrals und die Dreiecksungleichung erhält man left|_a^bfxddx-_l^n-fx_lhright| &leq fracnh^textmax_t in ab|f't|fracb-a^ntextmax_t in ab|f't|. Für b betrachten wir zuerst zu l in ...n- die Endpunkte x_- x_l und x_+ x_l+ und den Mittelpunkt overlinex fracx_-+x_+ des Intervall x_-x_+. Des Weiteren definiert man den Wert M_ textmax_x_in ab|f''x|. Nach Korollar . gilt für die Approximation durch das erste Taylor-Polynom um overlinex |ft-foverlinex+f'overlinext-overlinex| leq fracM_!|t-overlinex|^ leq fracM_leftfrachright^ fracM_h^ für alle t in x_-x_+. Man verwet dies für die Endpunkte tx_- und tx_+ des Intervalls x_-x_+ und erhält aus der Dreiecksungleichung left| fracfx_-+fx_+-foverlinex right| frac|fx_--foverlinex-f'overlinexx_- -overlinex+fx_+-foverlinex-f'overlinexx_+-overlinex|leq fracM_h^ da sich der lineare Term wegen x_- - overlinex -x_+-overlinex aufhebt. Aus demselben Grund erhält man left| _x_-^x_+ ftddt-foverlinexh right| left| _x_-^x_+ ft-foverlinexddt right| left| _x_-^x_+ ft-foverlinex+f'overlinext-overlinexddt right| &leq fracM_ _x_-^x_+ t-overlinex^ddt _-frach^frach s^dds fracM_h^ Zusammenfass gilt also für lin ...n- und overlinex_l fracx_l+x_l+ left|foverlinex_l-fracfx_l+fx_l+ right| leq fracM_h^ left|_x_l^x_l+ ftddt-foverlinex_lh right| leq fracM_h^ Man multipliziert mit h und miert sowohl als auch über l in ...n-. Daraus folgt mit Intervalladditivität des Riemann-Integrals left|_a^b fxddx-h_l^n-fracfx_l+fx_l+overlinex_lh right| leq nleftfracM_h^+fracM_h^ right fracb-a^ M_n^ Für c betrachtet man wieder zuerst zu k in ...fracn- die Endpunkte x_- x_k und x_+ x_k+ und den Mittelpunkt overlinexx_k+ des Intervalls x_-x_+ und verwet Korollar . bei overlinex. Dies ergibt für tin x_-x_+ left|ft-leftfoverlinex+f'overlinext-overlinex+fracf''overlinext-overlinex^+fracf'''overlinext-overlinex^ right| leq fracM_t-overlinex^! leq fracM_h^! wobei M_textmax_xin ab|f^x|. Durch Integration über x_-x_+ erhält man left|_x_-^x_+ ftddt-lefthfxoverlinex+fracf''overlinex _-h^h s^ ddsrightright|leq fracM_! _-h^h s^ dds oder auch left|_x_-^x_+ ftddt-lefthfxoverlinex+fracf''overlinexh^ rightright|leq fracM_h^ Setzt man tx_- und tx_+ in Gleichung so erhält man frachleft|fx_-+fx_+-foverlinex+f''overlinexh^right| leq frach M_h^ fracM_h^ da sich die linearen und kubischen Terme gegenseitig aufheben. Daher gilt left| _x_-^x_+ ft ddt -frachfx_-+foverlinex+fx_+right| left| _x_-^x_+ ft ddt -frachfoverlinex+f''overlinexh^+frachfoverlinex+f''overlinexh^-frachfx_-+fx_+right| &leq fracM_h^+fracM_h^ fracM_h^ Nach Summation über kin...fracn- ergibt sich in Folge ... der Gewichte für die Funktionswerte in der Sion-Regel wie im Satz und die Abschätzung genau wie im Beweis von b oben.
Meta Information
Exercise:
Seien a b reelle Zahlen f:ab rightarrow mathbbR eine Funktion n in mathbbN h fracb-an die Schrittweite und x_l a+lh für l in ...n. abcliste abc Rechtecksregel Falls f stetig differenzierbar ist dann gilt _a^b fx ddx hfx_+...+fx_n-+F_ wobei der Fehler F_ durch |F_| leq fracb-a^ntextmax_xin ab|f'x| beschränkt ist. abc Sehnentrapezregel Falls f zweimal stetig differenzierbar ist dann gilt _a^b fx ddx hleftfracfx_+fx_+...+fracfx_n-+fx_nright+F_ frachfx_+fx_+...+fx_n-+fx_nright+F_ wobei der Fehler F_ durch |F_| leq fracb-a^n^textmax_xin ab|f''x| beschränkt ist. abc Sion-Regel Falls f viermal stetig differenzierbar ist dann gilt _a^b fx ddx frachfx_+fx_+fx_+fx_+fx_+... &+fx_n-+fx_n-+fx_n+F_ wobei der Fehler F_ durch |F_| leq fracb-a^n^textmax_xin ab|f^x| beschränkt ist. abcliste Insbesondere verhält sich der Fehler für das Rechtecksverfahren wie mathcalO_fn^- für nrightarrow infty für das Sehnentrapezverfahren wie mathcalO_fn^- für nrightarrow infty und für das Sionverfahren wie mathcalO_fn^- für nrightarrow infty. Es ist anzumerken dass die Konstanten in obigen Abschätzungen nicht optimal sind. Alle drei obigen Approximationsverfahren sind sogenannte Newton-Cotes-Verfahren. Die wesentliche Idee eines solchen Verfahrs ist die folge: zuerst schreibt man nach Intervalladditivität _a^b fx ddx _l^n- _x_l^x_l+fxddx. Nun approximiert man jedes obige Integralstück _x_l^x_l+fxddx durch einen Ausdruck der Form _k^K w_k und Stützpunkte z_...z_K in x_lx_l+. Beispielsweise nimmt man für die Sehnentrapezregel zwei Stützpunkte K nämlich die beiden Endpunkte des Intervalls x_lx_l+ mit den Gewichten w_w_frac. Die Summe der Fehler die auf den Stücken _x_l^x_l+fxddx zustandekommen ergeben dann den Gesamtfehler der Approximation. Obiger Satz gibt demanach an wie dieser Fehler kontrolliert werden kann.
Solution:
Beweis. Für a verwet man den Mittelwertsatz wonach es zu l in ...n- und x in x_lx_l+ ein xi_x in x_lx_l+ gibt mit fx-fx_lf'xi_xx-x_l. Insbesondere gilt |fx-fx_l||f'xi_x|x-x_l leq x_x_ltextmax_tin ab|f't|. Damit erhält man left|_x_l^x_l+fxddx-fx_lhright| &leq _x_l^x_l+ |fx-fx_l|ddx leq textmax_t in ab|f't|_x_l^x_l+x-x_lddx &leq frach^textmax_t in ab|f't|. Durch Summation Intervalladditivität des Integrals und die Dreiecksungleichung erhält man left|_a^bfxddx-_l^n-fx_lhright| &leq fracnh^textmax_t in ab|f't|fracb-a^ntextmax_t in ab|f't|. Für b betrachten wir zuerst zu l in ...n- die Endpunkte x_- x_l und x_+ x_l+ und den Mittelpunkt overlinex fracx_-+x_+ des Intervall x_-x_+. Des Weiteren definiert man den Wert M_ textmax_x_in ab|f''x|. Nach Korollar . gilt für die Approximation durch das erste Taylor-Polynom um overlinex |ft-foverlinex+f'overlinext-overlinex| leq fracM_!|t-overlinex|^ leq fracM_leftfrachright^ fracM_h^ für alle t in x_-x_+. Man verwet dies für die Endpunkte tx_- und tx_+ des Intervalls x_-x_+ und erhält aus der Dreiecksungleichung left| fracfx_-+fx_+-foverlinex right| frac|fx_--foverlinex-f'overlinexx_- -overlinex+fx_+-foverlinex-f'overlinexx_+-overlinex|leq fracM_h^ da sich der lineare Term wegen x_- - overlinex -x_+-overlinex aufhebt. Aus demselben Grund erhält man left| _x_-^x_+ ftddt-foverlinexh right| left| _x_-^x_+ ft-foverlinexddt right| left| _x_-^x_+ ft-foverlinex+f'overlinext-overlinexddt right| &leq fracM_ _x_-^x_+ t-overlinex^ddt _-frach^frach s^dds fracM_h^ Zusammenfass gilt also für lin ...n- und overlinex_l fracx_l+x_l+ left|foverlinex_l-fracfx_l+fx_l+ right| leq fracM_h^ left|_x_l^x_l+ ftddt-foverlinex_lh right| leq fracM_h^ Man multipliziert mit h und miert sowohl als auch über l in ...n-. Daraus folgt mit Intervalladditivität des Riemann-Integrals left|_a^b fxddx-h_l^n-fracfx_l+fx_l+overlinex_lh right| leq nleftfracM_h^+fracM_h^ right fracb-a^ M_n^ Für c betrachtet man wieder zuerst zu k in ...fracn- die Endpunkte x_- x_k und x_+ x_k+ und den Mittelpunkt overlinexx_k+ des Intervalls x_-x_+ und verwet Korollar . bei overlinex. Dies ergibt für tin x_-x_+ left|ft-leftfoverlinex+f'overlinext-overlinex+fracf''overlinext-overlinex^+fracf'''overlinext-overlinex^ right| leq fracM_t-overlinex^! leq fracM_h^! wobei M_textmax_xin ab|f^x|. Durch Integration über x_-x_+ erhält man left|_x_-^x_+ ftddt-lefthfxoverlinex+fracf''overlinex _-h^h s^ ddsrightright|leq fracM_! _-h^h s^ dds oder auch left|_x_-^x_+ ftddt-lefthfxoverlinex+fracf''overlinexh^ rightright|leq fracM_h^ Setzt man tx_- und tx_+ in Gleichung so erhält man frachleft|fx_-+fx_+-foverlinex+f''overlinexh^right| leq frach M_h^ fracM_h^ da sich die linearen und kubischen Terme gegenseitig aufheben. Daher gilt left| _x_-^x_+ ft ddt -frachfx_-+foverlinex+fx_+right| left| _x_-^x_+ ft ddt -frachfoverlinex+f''overlinexh^+frachfoverlinex+f''overlinexh^-frachfx_-+fx_+right| &leq fracM_h^+fracM_h^ fracM_h^ Nach Summation über kin...fracn- ergibt sich in Folge ... der Gewichte für die Funktionswerte in der Sion-Regel wie im Satz und die Abschätzung genau wie im Beweis von b oben.
Seien a b reelle Zahlen f:ab rightarrow mathbbR eine Funktion n in mathbbN h fracb-an die Schrittweite und x_l a+lh für l in ...n. abcliste abc Rechtecksregel Falls f stetig differenzierbar ist dann gilt _a^b fx ddx hfx_+...+fx_n-+F_ wobei der Fehler F_ durch |F_| leq fracb-a^ntextmax_xin ab|f'x| beschränkt ist. abc Sehnentrapezregel Falls f zweimal stetig differenzierbar ist dann gilt _a^b fx ddx hleftfracfx_+fx_+...+fracfx_n-+fx_nright+F_ frachfx_+fx_+...+fx_n-+fx_nright+F_ wobei der Fehler F_ durch |F_| leq fracb-a^n^textmax_xin ab|f''x| beschränkt ist. abc Sion-Regel Falls f viermal stetig differenzierbar ist dann gilt _a^b fx ddx frachfx_+fx_+fx_+fx_+fx_+... &+fx_n-+fx_n-+fx_n+F_ wobei der Fehler F_ durch |F_| leq fracb-a^n^textmax_xin ab|f^x| beschränkt ist. abcliste Insbesondere verhält sich der Fehler für das Rechtecksverfahren wie mathcalO_fn^- für nrightarrow infty für das Sehnentrapezverfahren wie mathcalO_fn^- für nrightarrow infty und für das Sionverfahren wie mathcalO_fn^- für nrightarrow infty. Es ist anzumerken dass die Konstanten in obigen Abschätzungen nicht optimal sind. Alle drei obigen Approximationsverfahren sind sogenannte Newton-Cotes-Verfahren. Die wesentliche Idee eines solchen Verfahrs ist die folge: zuerst schreibt man nach Intervalladditivität _a^b fx ddx _l^n- _x_l^x_l+fxddx. Nun approximiert man jedes obige Integralstück _x_l^x_l+fxddx durch einen Ausdruck der Form _k^K w_k und Stützpunkte z_...z_K in x_lx_l+. Beispielsweise nimmt man für die Sehnentrapezregel zwei Stützpunkte K nämlich die beiden Endpunkte des Intervalls x_lx_l+ mit den Gewichten w_w_frac. Die Summe der Fehler die auf den Stücken _x_l^x_l+fxddx zustandekommen ergeben dann den Gesamtfehler der Approximation. Obiger Satz gibt demanach an wie dieser Fehler kontrolliert werden kann.
Solution:
Beweis. Für a verwet man den Mittelwertsatz wonach es zu l in ...n- und x in x_lx_l+ ein xi_x in x_lx_l+ gibt mit fx-fx_lf'xi_xx-x_l. Insbesondere gilt |fx-fx_l||f'xi_x|x-x_l leq x_x_ltextmax_tin ab|f't|. Damit erhält man left|_x_l^x_l+fxddx-fx_lhright| &leq _x_l^x_l+ |fx-fx_l|ddx leq textmax_t in ab|f't|_x_l^x_l+x-x_lddx &leq frach^textmax_t in ab|f't|. Durch Summation Intervalladditivität des Integrals und die Dreiecksungleichung erhält man left|_a^bfxddx-_l^n-fx_lhright| &leq fracnh^textmax_t in ab|f't|fracb-a^ntextmax_t in ab|f't|. Für b betrachten wir zuerst zu l in ...n- die Endpunkte x_- x_l und x_+ x_l+ und den Mittelpunkt overlinex fracx_-+x_+ des Intervall x_-x_+. Des Weiteren definiert man den Wert M_ textmax_x_in ab|f''x|. Nach Korollar . gilt für die Approximation durch das erste Taylor-Polynom um overlinex |ft-foverlinex+f'overlinext-overlinex| leq fracM_!|t-overlinex|^ leq fracM_leftfrachright^ fracM_h^ für alle t in x_-x_+. Man verwet dies für die Endpunkte tx_- und tx_+ des Intervalls x_-x_+ und erhält aus der Dreiecksungleichung left| fracfx_-+fx_+-foverlinex right| frac|fx_--foverlinex-f'overlinexx_- -overlinex+fx_+-foverlinex-f'overlinexx_+-overlinex|leq fracM_h^ da sich der lineare Term wegen x_- - overlinex -x_+-overlinex aufhebt. Aus demselben Grund erhält man left| _x_-^x_+ ftddt-foverlinexh right| left| _x_-^x_+ ft-foverlinexddt right| left| _x_-^x_+ ft-foverlinex+f'overlinext-overlinexddt right| &leq fracM_ _x_-^x_+ t-overlinex^ddt _-frach^frach s^dds fracM_h^ Zusammenfass gilt also für lin ...n- und overlinex_l fracx_l+x_l+ left|foverlinex_l-fracfx_l+fx_l+ right| leq fracM_h^ left|_x_l^x_l+ ftddt-foverlinex_lh right| leq fracM_h^ Man multipliziert mit h und miert sowohl als auch über l in ...n-. Daraus folgt mit Intervalladditivität des Riemann-Integrals left|_a^b fxddx-h_l^n-fracfx_l+fx_l+overlinex_lh right| leq nleftfracM_h^+fracM_h^ right fracb-a^ M_n^ Für c betrachtet man wieder zuerst zu k in ...fracn- die Endpunkte x_- x_k und x_+ x_k+ und den Mittelpunkt overlinexx_k+ des Intervalls x_-x_+ und verwet Korollar . bei overlinex. Dies ergibt für tin x_-x_+ left|ft-leftfoverlinex+f'overlinext-overlinex+fracf''overlinext-overlinex^+fracf'''overlinext-overlinex^ right| leq fracM_t-overlinex^! leq fracM_h^! wobei M_textmax_xin ab|f^x|. Durch Integration über x_-x_+ erhält man left|_x_-^x_+ ftddt-lefthfxoverlinex+fracf''overlinex _-h^h s^ ddsrightright|leq fracM_! _-h^h s^ dds oder auch left|_x_-^x_+ ftddt-lefthfxoverlinex+fracf''overlinexh^ rightright|leq fracM_h^ Setzt man tx_- und tx_+ in Gleichung so erhält man frachleft|fx_-+fx_+-foverlinex+f''overlinexh^right| leq frach M_h^ fracM_h^ da sich die linearen und kubischen Terme gegenseitig aufheben. Daher gilt left| _x_-^x_+ ft ddt -frachfx_-+foverlinex+fx_+right| left| _x_-^x_+ ft ddt -frachfoverlinex+f''overlinexh^+frachfoverlinex+f''overlinexh^-frachfx_-+fx_+right| &leq fracM_h^+fracM_h^ fracM_h^ Nach Summation über kin...fracn- ergibt sich in Folge ... der Gewichte für die Funktionswerte in der Sion-Regel wie im Satz und die Abschätzung genau wie im Beweis von b oben.
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