Exercise:
Sei Usubseteq mathbbR^n seien a b reelle Zahlen und sei f:Utimes abrightarrow mathbbR stetig mit stetigen partiellen Ableitungen partial_k f für kin ...n. Seien des Weiterern alpha beta:Urightarrow ab stetig idfferenzierbar. Dann ist das Parameteregral mit veränderlichen Grenzen F:xin Umapsto _alphax^betaxfxtddt stetig differenzierbar und für kin ...n gilt partial_kFxfxbetaxpartial_kbetax-fxalphaxpartial_kalphax+_alphax^betaxpartial_kfxtddt für alle xin U.

Solution:
Beweis. Man kombiniert Satz . den Fundamentalsatz der Integral-und Differentialrechnung Theorem . und die mehrdimensionale Kettenregel in Satz .. Dazu definiert man die Hilfsfunktion psi:Utimesab^rightarrow mathbbR quad xalpha betamapsto _alpha^betafxtddt. Man zeigt zuerst dass psi stetig ist. Sei also x_nalpha_n beta_nin Utimes ab^ eine Folge die gegen xalpha betain Utimes ab^ konvergiert. Man wählt ein epsilon so dass B_epsilonxsubseteq U und definiert ctextinfalpha_nbeta_n | nin mathbbN dtextsupalpha_nbeta_n | nin mathbbN. Da sowohl alphalim_nrightarrow inftyalpha_nin ab und betalim_nrightarrow inftybeta_n in ab folgt cdin ab. Damit ist KoverlineB_epsilonxtimes cdsubseteq Utimes ab eine kompakte Teilmenge und Mtextmax_limitsx't'in K|fx't'| existiert. Für alle hinreich grossen n gilt dann aber x_nin B_epsilonx und es folgt |psix_nalpha_nbeta_n-psixalphabeta|&leq left| _alpha_n^beta_nfx_ntddt-_alpha^betafx_ntddtright|+left| _alpha^betafx_ntddt-_alpha^betafxtddtright| &leq M|alpha_n-alpha|+M|beta_n-beta|+left| _alpha^betafx_ntddt-_alpha^betafxtddtright| wobei man die Dreiecksungleichung für das Integral Satz . iii über die Teilervalle zwischen alpha_n und alpha bzw. beta_n und beta und die Schranke M für die Funktionswerte von f verwet hat. Für nrightarrow infty folgt nun aus Satz . dass dieser Ausdruck gegen strebt. Da die Folge x_nalpha_n beta_nin Utimes ab^ eine beliebige Folge mit beliebigem Grenzwert xalphabetain Utimesab^ war erhält man dass psi stetig ist Proposition .. Des Weiteren gilt nach Satz . dass die partiellen Ableitungen partial_kpsi für kin ...n existieren und durch partial_Kpsixalphabeta_alpha^betapartial_kfxtddt für alle xalphabetain Utimesab^ gegeben sind. Nach obigem Argument ist partial_kpsi ebenso stetig. Nach Theorem . existierer auch die partiellen Ableitungen von psi nach alpha und beta und sind gegeben durch partial_alphapsixalphabeta-fxalpha partial_betapsixalphabetafxbeta für xalphabetain Utimesab^. Insbesondere sind partial_alphapsi partial_betapsi wiederum stetig nach Annahme. Nach Satz . ist psi also stetig differenzierbar. Man bemerkt nun dass die Funktion F im Korollar F:xin Umapsto psi pmatrix x alphax betax pmatrix erfüllt ist somit gegeben als Verknüpfung der Funktion phi:xin Umapsto pmatrix x alphax betax pmatrix mit der stetig differenzierbaren Funktion psi. Nach Annahme im Korollar ist auch psi stetig differenzierbar und hat die totale Ableitung pmatrix I_n textD_xalpha textD_xbeta pmatrix bei xin U. Man kann also die Kettenregel anwen und erhält dass F stetig differenzierbar ist und bei xin U und yxalphaxbetax^t gilt textD_xFtextD_ypsicirc pmatrix I_n textD_xalpha textD_xbeta pmatrix beziehungsweise partial_kFtextD_xFe_ktextD_ypsi pmatrix e_k textD_xalphae_k textD_xbetae_k pmatrix textD_ypsi pmatrix e_k partial_kalphax partial_kbetax pmatrix partial_kpsiy-fxalphaxpartial_kpartial_kalphax+fxbetaxpartial_kbetax für kin...n wie gewünscht.