Pi
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Exercise:
Es gibt genau eine Zahl pi in mit sin pi. Für diese Zahl gilt weiters e^pi i cospi+isinpi e^pi i cospi - e^fracpi i cosfracpi+isinfracpi i e^fracpi i cosfracpi+isinfracpi -i e^fracpi i cosfracpi+isinfracpi fracsqrt+fracisqrt
Solution:
Beweis. Aus Leibniz-Kriterium Proposition . und Monotonie der Folge fracx^nn!_n für alle x in folgt dass sinx geq x-fracx^! geq und -fracx^+fracx^ geq cosx -fracx^ für alle x in . Für x ist sin und für x ergibt sich sin^ geq a-frac^ frac frac und wegen Positivität von sin damit sin fracsqrt. Daher existiert nach dem ZWS eine Zahl p in mit sin p fracsqrt . Wegen sin^ p + cos^ p und cosp folgt ebenso cos p fracsqrt. Wir definieren pi p. Die weiteren Formeln im Satz folgen aus den Additionsformeln und den Winkelverdopplungsformeln. Es verbleibt die Eindeutigkeit von pi wie im Satz zu zeigen. Für dies zeigen wir zuerst dass es keine Nullstelle r in von der Sinusfunktion geben kann. Wir nehmen indirekt an dass r in die Gleichung sinr erfüllt. Dann gilt cosr e^ri in - und somit e^fracri in - i -i. Da aber fracr in liegt verfügen wir bereits über die Ungleichungen cosfracr was einen Widerspruch darstellt. Insbesondere gilt daher pi in . Angenommen s in backslash pi erfüllt ebenso sins . Dann gilt nach obigem dass s in . Wir definieren rcases pi-squad textfalls s pi s-pi textfalls pi s cases Dann gilt r in und sinr was aber obigem Argument widerspricht. Daher ist pi in durch die Gleichung sinpi eindeutig bestimmt.
Es gibt genau eine Zahl pi in mit sin pi. Für diese Zahl gilt weiters e^pi i cospi+isinpi e^pi i cospi - e^fracpi i cosfracpi+isinfracpi i e^fracpi i cosfracpi+isinfracpi -i e^fracpi i cosfracpi+isinfracpi fracsqrt+fracisqrt
Solution:
Beweis. Aus Leibniz-Kriterium Proposition . und Monotonie der Folge fracx^nn!_n für alle x in folgt dass sinx geq x-fracx^! geq und -fracx^+fracx^ geq cosx -fracx^ für alle x in . Für x ist sin und für x ergibt sich sin^ geq a-frac^ frac frac und wegen Positivität von sin damit sin fracsqrt. Daher existiert nach dem ZWS eine Zahl p in mit sin p fracsqrt . Wegen sin^ p + cos^ p und cosp folgt ebenso cos p fracsqrt. Wir definieren pi p. Die weiteren Formeln im Satz folgen aus den Additionsformeln und den Winkelverdopplungsformeln. Es verbleibt die Eindeutigkeit von pi wie im Satz zu zeigen. Für dies zeigen wir zuerst dass es keine Nullstelle r in von der Sinusfunktion geben kann. Wir nehmen indirekt an dass r in die Gleichung sinr erfüllt. Dann gilt cosr e^ri in - und somit e^fracri in - i -i. Da aber fracr in liegt verfügen wir bereits über die Ungleichungen cosfracr was einen Widerspruch darstellt. Insbesondere gilt daher pi in . Angenommen s in backslash pi erfüllt ebenso sins . Dann gilt nach obigem dass s in . Wir definieren rcases pi-squad textfalls s pi s-pi textfalls pi s cases Dann gilt r in und sinr was aber obigem Argument widerspricht. Daher ist pi in durch die Gleichung sinpi eindeutig bestimmt.