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Exercise:
Seien _n^infty a_n und _n^infty b_n zwei absolut konvergente Reihen und phi:mathbbNrightarrow mathbbNtimes mathbbN eine bijektive Abbildung. Dann ist _n^infty a_phi n_b_phi n_ eine absolut konvergente Reihe wobei phi nphi n_ phi n_ für alle n in mathbbN. Weiters gilt _n^infty a_phi n_b_phi n_ left_n^infty a_n rightleft_n^infty b_n right
Solution:
Man wähle eine Bijektion phi : mathbbNrightarrow mathbbN^ s.d. phiphi...phin^ ...ntimes ...n für alle n in mathbbN. Für jedes n in mathbbN gilt dann für die Partialme bis n^ der gliedweise multiplizierten Reihe der Absolutbeträge das liche verallgemeinerte Distributivgesetz _k^n^|a_phi k_||b_phi k_| left_l^n|a_l| rightleft_m^n|b_m| right Insbesondere folgt also _k^n^|a_phi k_||b_phi k_| leq left_l^infty|a_l| rightleft_m^infty|b_m| right für alle n in mathbbN. Da aber für eine Reihe mit nicht-negativen Termen die Folge der Partialmen monoton wachsen sind folgt daraus dass die Reihe _k^infty|a_phi k_||b_phi k_| konvergiert und damit die Reihe _k^inftya_phi k_b_phi k_ absolut konvergent ist. Obiges Distributivgesetz gilt auch in der Form _k^n^a_phi k_b_phi k_ leq left_l^na_l rightleft_m^nb_m right für alle n in mathbbN. Mit Hilfe des Grenzwertübergangs n rightarrow infty erhält man daraus _k^inftya_phi k_b_phi k_ leq left_l^inftya_l rightleft_m^inftyb_m right Betrachtet man eine beliebige Bijektion psi : mathbbNrightarrowmathbbN^ so ist phi^-circ psi : mathbbNrightarrowmathbbN eine Bijektion und die Formel _k^inftya_psi k_b_psi k_ leq left_l^inftya_l rightleft_m^inftyb_m right folgt aus obigem und dem Umordnungssatz ..
Seien _n^infty a_n und _n^infty b_n zwei absolut konvergente Reihen und phi:mathbbNrightarrow mathbbNtimes mathbbN eine bijektive Abbildung. Dann ist _n^infty a_phi n_b_phi n_ eine absolut konvergente Reihe wobei phi nphi n_ phi n_ für alle n in mathbbN. Weiters gilt _n^infty a_phi n_b_phi n_ left_n^infty a_n rightleft_n^infty b_n right
Solution:
Man wähle eine Bijektion phi : mathbbNrightarrow mathbbN^ s.d. phiphi...phin^ ...ntimes ...n für alle n in mathbbN. Für jedes n in mathbbN gilt dann für die Partialme bis n^ der gliedweise multiplizierten Reihe der Absolutbeträge das liche verallgemeinerte Distributivgesetz _k^n^|a_phi k_||b_phi k_| left_l^n|a_l| rightleft_m^n|b_m| right Insbesondere folgt also _k^n^|a_phi k_||b_phi k_| leq left_l^infty|a_l| rightleft_m^infty|b_m| right für alle n in mathbbN. Da aber für eine Reihe mit nicht-negativen Termen die Folge der Partialmen monoton wachsen sind folgt daraus dass die Reihe _k^infty|a_phi k_||b_phi k_| konvergiert und damit die Reihe _k^inftya_phi k_b_phi k_ absolut konvergent ist. Obiges Distributivgesetz gilt auch in der Form _k^n^a_phi k_b_phi k_ leq left_l^na_l rightleft_m^nb_m right für alle n in mathbbN. Mit Hilfe des Grenzwertübergangs n rightarrow infty erhält man daraus _k^inftya_phi k_b_phi k_ leq left_l^inftya_l rightleft_m^inftyb_m right Betrachtet man eine beliebige Bijektion psi : mathbbNrightarrowmathbbN^ so ist phi^-circ psi : mathbbNrightarrowmathbbN eine Bijektion und die Formel _k^inftya_psi k_b_psi k_ leq left_l^inftya_l rightleft_m^inftyb_m right folgt aus obigem und dem Umordnungssatz ..