Exercise:
textbfIl Fiocco di neve di Koch. La schema sottostante mostra il modo in cui si genera passo per passo una particolare figura conosciuta come textitfiocco di neve di Koch. Poni il lato della prima figura pari a center usetikzlibrarylindenmayersystems pgfdeclarelindenmayersystemKoch curve ruleF - F-F++F-F deftrianglewidthcm foreach level in ... minipagetb.linewidth center tikzpicture drawdrawblackfillwhite l-system l-systemKoch curvesteptrianglewidth/^level angle axiomF++F++F orderlevel; draw .*trianglewidth-.*trianglewidth node nlevel; tikzpicture minipage center abclist abc Determina il numero di lati della figura mathcalL_n in funzione di n abc Determina il perimetro della figura mathcalP_n in funzione di n abc Determina l'area della figura mathcalA_n in funzione di n e della figura limite per nto infty. abclist

Solution:
abclist abc Notiamo che nella prima figura ci sono lati nella seconda nella terza e via dico e che in generale da ogni lato ne vengono generati nuovi dunque mathcalL_n ^n abc Notiamo che se da un canto il numero di lati aumenta la lunghezza viene divisa per dunque se i lato della figura hanno lunghezza quelli per n avranno lunghezza frac poi frac e via dico ossia l_nleftfracright^n. Dunque il perimetro totale sarà mathcalP_nmathcalL_n l_n leftfracright^n. abc Per quanto riguarda l'area l'esercizio è meno semplice. Notiamo che per ogni lato nella figura successiva viene aggiunta alla figura corrente un triangolo equilatero il cui lato è un terzo del corrente. Ricordiamo inoltre che l'area di un triangolo equilatero di lato l è dato da fracsqrtl^. Dunque ricorsivamente avremo che se mathcalL_n è il numero di lati e l_n la lunghezza vale casesmathcalA_fracsqrt mathcalA_n+mathcalA_n+mathcalL_n fracsqrt leftfracl_nright^ casescasesmathcalA_fracsqrt mathcalA_n+mathcalA_n+fracsqrt leftfracright^n cases da cui mathcalA_nfracsqrt+fracsqrt_k^n-leftfracright^kfracsqrtleft+frac frac-leftfracright^n-fracright. Da cui l'area della figura finale è mathcalA_inftyfracsqrt. abclist