Progressioni geometriche 18
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Exercise:
In un rettangolo ABCD è inscritta una successione di quadrati vedi figura. Il lato di ogni quadrato a partire dal secondo è la metà del lato del quadrato precedente. Il lato AD del rettangolo misura cm. center tikzpicture foreach x in ... pgfmathsetmacrorpow.x pgfmathsetmacrot*-pow.x+ scopeshiftt draw :r -- :r -- :r -- :r -- cycle; scope draw . node dots; draw - rectangle ; draw - node left A; draw node left D; draw node right C; draw - node right B; tikzpicture center abclist abc Determina la misura di AB affinché il rettangolo contenga esattamente tutti i quadrati della successione. abc Calcola la somma delle aree di tutti i quadrati. abc Calcola il volume del solido ottenuto ruotando i quadrati attorno al loro comune asse di xsimmetria. abclist
Solution:
abclist abc Siccome il primo rettangolo ha diagonale lunga la prossima sarà lunga poi frac e via dico. Di conseguenza la lunghezza totale sarà ++frac+frac+s _k^infty frac^k frac-frac. abc L'area di un quadrato si può ottenere dal diametro tramite la formula mathcalA_squarefracd^ dunque la prima area sarà . Siccome i diametri si dimezzano e l'area è proporzionale al quadrato del diametro le successive aree formeranno una PG di ragione leftfracright^frac. Dunque la somma delle infinite aree sarà mathcalA_infty frac-fraccong frac. abc Ruotando ogni quadrato otterremo una sequenza di doppi coni. Siccome il volume di un cono è dato da Vfracpi r^ h il cono generato da lla rotazione un quadrato di diametro d avrà volume Vd fracpi leftfracdright^ fracdfracpi d^ Dunque il primo cono avrà volume V_ fracpi mentre i successivi siccome scalano con il cubo del diametro saranno in PG di ragione leftfracright^frac. Dunque il volume totale sarà V_infty fracpi frac-fracfracpi. abclist
In un rettangolo ABCD è inscritta una successione di quadrati vedi figura. Il lato di ogni quadrato a partire dal secondo è la metà del lato del quadrato precedente. Il lato AD del rettangolo misura cm. center tikzpicture foreach x in ... pgfmathsetmacrorpow.x pgfmathsetmacrot*-pow.x+ scopeshiftt draw :r -- :r -- :r -- :r -- cycle; scope draw . node dots; draw - rectangle ; draw - node left A; draw node left D; draw node right C; draw - node right B; tikzpicture center abclist abc Determina la misura di AB affinché il rettangolo contenga esattamente tutti i quadrati della successione. abc Calcola la somma delle aree di tutti i quadrati. abc Calcola il volume del solido ottenuto ruotando i quadrati attorno al loro comune asse di xsimmetria. abclist
Solution:
abclist abc Siccome il primo rettangolo ha diagonale lunga la prossima sarà lunga poi frac e via dico. Di conseguenza la lunghezza totale sarà ++frac+frac+s _k^infty frac^k frac-frac. abc L'area di un quadrato si può ottenere dal diametro tramite la formula mathcalA_squarefracd^ dunque la prima area sarà . Siccome i diametri si dimezzano e l'area è proporzionale al quadrato del diametro le successive aree formeranno una PG di ragione leftfracright^frac. Dunque la somma delle infinite aree sarà mathcalA_infty frac-fraccong frac. abc Ruotando ogni quadrato otterremo una sequenza di doppi coni. Siccome il volume di un cono è dato da Vfracpi r^ h il cono generato da lla rotazione un quadrato di diametro d avrà volume Vd fracpi leftfracdright^ fracdfracpi d^ Dunque il primo cono avrà volume V_ fracpi mentre i successivi siccome scalano con il cubo del diametro saranno in PG di ragione leftfracright^frac. Dunque il volume totale sarà V_infty fracpi frac-fracfracpi. abclist