Exercise:
Protonen und alpha-Teilchen m_alpham_mathrmp q_alphaq_mathrmp werden aus der Ruhe durch die gleiche Spannung U in einem Längsfeld beschleunigt und treten anschliess in das selbe Magnetfeld der Flussdichte BsimT ein. Die Protonen beschreiben einen Kreis mit dem Radius r_mathricm. Welchen Radius wird die Kreisbahn der alpha-Teilchen besitzen?

Solution:
Geg.: m_alpham_mathrmp q_alphaq_mathrmp B ^-siT r_mathrmp.sim Ges.: r_alpha Allgemein gilt für den Radius der geladenen Teilchen: F_mathrmZF_mathrmLRa mfracv^rqvB Ra rfracmvqB textbfLösung mit Zwischenresultaten: Für den gesuchten Radius erhalten wir aus der Kräftegleichung s. oben: r_alphafracm_alphav_alphaq_alphaBfracm_mathrmpv_alphaq_mathrmpBfracm_mathrmpv_alphaq_mathrmpB qquad v_alphatext? Energieerhaltung liefert: fracm_alphav_alpha^q_alphaU Ra v_alphasqrtfracq_alphaUm_alpha qquad Utext? Aus der Energieerhaltung für das Proton folgt: fracm_mathrmpv_mathrmp^q_mathrmpU Ra Ufracm_mathrmpv_mathrmp^q_mathrmpqquad v_mathrmptext? v_mathrmp erhalten wir aus F_mathrmZF_mathrmL s. oben: r_mathrmpfracm_mathrmpv_mathrmpq_mathrmpBRa v_mathrmpfracr_mathrmpq_mathrmpBm_mathrmp. ^sim/s Damit errechnen wir für die weiteren benötigten Grössen und das Resultat: U.siVqquad v_alpha. ^sim/s Ra r_alphares.m textbfAllgemeine Lösung: Wir schreiben für r_alpha mit den gegebenen Grössen: r_alphafracm_alphav_alphaq_alphaBfracm_mathrmpv_alphaq_mathrmpBfracm_mathrmpv_alphaq_mathrmpB Nun fehlt uns v_alpha. Wir versuchen auch v_alpha durch v_mathrmp auszudrücken. Aus der Energieerhaltung erhalten wir für die beiden Teilchen: fracm_mathrmpv_mathrmp^q_mathrmpU fracm_alphav_alpha^q_alphaU Ersetzen wir soweit bekannt die Grössen für das alpha-Teilchen durch die Grössen für das Proton und multiplizieren die Gleichungen mit : setcounter m_mathrmpv_mathrmp^q_mathrmpU m_mathrmpv_alpha^q_mathrmpU Nun kürzen wir die Gl. mit und dividieren die beiden Gleichungen durcheinander: fracv_mathrmp^v_alpha^Ra v_alphafracv_mathrqrt Einsetzen in die Gleichung für r_alpha ergibt: r_alphafracm_mathrmpfracv_mathrqrtq_mathrmpBfracsqrtr_mathrqrtr_mathrmpres.m