Exercise
https://texercises.com/exercise/quader/
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Exercise:
Bestimme den achsenparallelen Quader mit maximalem Volumen und mit den Eckpunkten auf dem Ellipsoiden fracx^a^+fracy^b^+fracz^c^.

Solution:
Bezeichnen wir mit xyz die Ecke des Quaders mit positiven Koordinaten. Nun wuchen wir das Maximum des Volumens d.h. von V x y z xyz unter der Nebenbedingung dass fracx^a^+fracy^b^+fracz^c^. Mittels LangrangMultiplikatoren führt das auf die drei Gleichungen yz + lambda fracxa^ labellagquadell xz + lambda fracyb^ labellagquadell xy + lambda fraczc^ labellagquadell Das können wir nach lambda auflösen: x reflagquadell + y reflagquadell+ z reflagquadell xyz+ lambdaleftfracx^a^+fracy^b^+fracz^c^right V + lambda lambda -fracV. Weiter ist x reflagquadell y reflagquadell z reflagquadell Aus der ersten dieser drei Gleichungen folgt xyz + fracx^a^left-fracVright quadmboxund da V&neq quad mboxist fracx^a^quadmboxweil xquadmboxist x frac|a|sqrt Analoges gilt dann für y und z was auf das Volumen frac|abc|sqrt führt.
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Exercise:
Bestimme den achsenparallelen Quader mit maximalem Volumen und mit den Eckpunkten auf dem Ellipsoiden fracx^a^+fracy^b^+fracz^c^.

Solution:
Bezeichnen wir mit xyz die Ecke des Quaders mit positiven Koordinaten. Nun wuchen wir das Maximum des Volumens d.h. von V x y z xyz unter der Nebenbedingung dass fracx^a^+fracy^b^+fracz^c^. Mittels LangrangMultiplikatoren führt das auf die drei Gleichungen yz + lambda fracxa^ labellagquadell xz + lambda fracyb^ labellagquadell xy + lambda fraczc^ labellagquadell Das können wir nach lambda auflösen: x reflagquadell + y reflagquadell+ z reflagquadell xyz+ lambdaleftfracx^a^+fracy^b^+fracz^c^right V + lambda lambda -fracV. Weiter ist x reflagquadell y reflagquadell z reflagquadell Aus der ersten dieser drei Gleichungen folgt xyz + fracx^a^left-fracVright quadmboxund da V&neq quad mboxist fracx^a^quadmboxweil xquadmboxist x frac|a|sqrt Analoges gilt dann für y und z was auf das Volumen frac|abc|sqrt führt.
Contained in these collections:

Attributes & Decorations
Tags
analysis, extrema, lagrange, lagrange-multiplikatoren, mathematik, maxima, nebenbedingung, quader, volumen
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Difficulty
(5, default)
Points
5 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Calculative / Quantity
Creator uz
Decoration
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