Exercise:
Ein Ohmscher Widerstand RO und ein Kondensator CO werden in Serie einmal an eine Gleich- und an eine fO-Wechselspannungsquelle angeschlossen wobei beide UoO liefern. In beiden Fällen sei die Quelle zunächst ausgeschaltet. minipagec.textwidth figureH centering circuitikzeuropean draw tobattery invert lU_ ++ toR lR ++ tocapacitor lC ++ toshort ++- toshort cycle; circuitikz captionRC-Glied im Gleichstromkreis. labelfig:rc-dc figure minipage hfill minipagec.textwidth figureH centering circuitikzeuropean draw tosV lut ++ toR lR ++ tocapacitor lC ++ toshort ++- toshort cycle; circuitikz captionRC-Glied im Wechselstromkreis fO. labelfig:rc-ac figure minipage bigskip Wir betrachten zuerst den Gleichstromkreis vgl. Abb.~reffig:rc-dc. abclist abc Beschreibe in Worten was nach dem Einschalten der Spannungsquelle mit dem Kondensator passiert. hfill abc Stelle die Differentialgleichung für die Ladung Q auf dem Kondensator auf. Stelle sie so um dass der Term mit der grössten Ableitung keine Koeffizienten mehr enthält und sie absteig nach Ableitungen sortiert ist. hfill abc Zeige durch Einsetzen dass die Funktion al Qt CU_ qty-e^-fracRC t labeleq:rc-lsg eine mögliche Lösungsfunktion der Differentialgleichung ist. hfill abc Formuliere die zwei Anfangsbedingungen der Lösungsfunktion refeq:rc-lsg in Worten und formal. hfill abc Wie viel Zeit vergeht nach dem Einschalten bis der Kondensator etO seiner maximalen Ladung trägt? hfill abclist Wir betrachten nun den Wechselstromkreis vgl. Abb.~reffig:rc-ac. abclist setcounterabc setcounterenumii abc Die Spannung wird durch eine rotiere AO umschliesse Spule in einem Magnetfeld der Stärke BO induziert. Wie viele Windungen hat sie? hfill abc Beschreibe in Worten was nach dem Einschalten der Spannungsquelle mit dem Kondensator passiert. hfill abc Weshalb ist dieser Kreis textbfkein Schwingkreis? hfill abc Leite den formalen Ausdruck für die Impedanz dieses Wechselstromkreises und daraus die formalen Ausdrücke für den Scheinwiderstand und die Phasenverschiebung her. hfill abc Berechne den Scheinwiderstand. hfill abclist

Solution:
abclist abc Der Kondensator wird aufgeladen bis er die durch seine Kapazität beschränkte maximale Ladungsmenge trägt. Die Zeitdauer bis zur vollständigen Ladung ist vom Widerstand abhängig. abc al U_ U_C + U_R U_ fracQC + R I U_ fracQC + R dvQt dvQt + fracRC Q fracU_R abc Wir berechnen zunächst die Ableitung der angegebenen Funktion: al Q CU_ qty-e^-fracRC t dvQt fracU_R e^-fracRC t. Danach setzen wir sie in die Differentialgleichung ein: al fracU_R e^-fracRC t + fracRC CU_ qty-e^-fracRC t fracU_R fracU_R e^-fracRC t + fracU_R - fracU_R e^-fracRC t fracU_R fracU_R fracU_R quad checkmark abc Zu Beginn ist der Kondensator ungeladen d.h. Q und es fliesst kein Strom d.h. I dot Q . abc Wir setzen in der ursprünglichen Funktion Qeta hat Q und lösen nach der Zeit auf: al eta hat Q hat Q qty-e^-fracRC t eta -e^-fracRC t e^-fracRC t -eta -fracRC t ln-eta t tF -R C ln-et t approx tS abc al hat u NBAomega hat u sqrtU_ N NF fracsqrtUoB A pi f N approx NS abc Der Kondensator wird ständig aufgeladen und wieder entladen. abc Für einen Schwingkreis bräuchte es zusätzlich eine Spule. abc al tilde Z R - ifracomega C Z ZF Deltaphi arctanfracomega RC abc al Z ZF sqrtqtyR^ + qtyfracpif C^ Z approx ZS abclist