Rechnen mit Proportionalitäten
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Exercise:
Mit welchem Faktor muss man die Oberflächentemperatur verändern um den Strom der abgestrahlten Wärme um .percent zu reduzieren?
Solution:
Zunächst muss man den formalen Zusammenhang zwischen der Oberflächentemperatur und dem Wärmestrom kennen. Dieser ist über das Stefan-Boltzmann-Gesetz gegeben: al varPhi epsilon sigma T^. Wir fassen nun alles was sich innerhalb der Aufgabe textbfnicht verändert zu einer Konstante zusammen: al varPhi underbraceepsilon sigma_const T^ varPhi const T^ varPhi &sim T^. labeleq:exp Das Proportionalitätszeichen glqqsimgrqq bedeutet nämlich nichts anderes als glqqconstgrqq. Wir stellen die Proportionalität nun nach der gesuchten Grösse um: al T &sim sqrtvarPhi. Wir führen nun die Variablen x_T fracT'T und x_varPhifracvarPhi'varPhi ein Verhältnis von neu zu alt. Damit lässt sich die Proportionalität umschreiben zu: al fracTsqrtvarPhi const fracTsqrtvarPhi fracT'sqrtvarPhi' fracT'T fracsqrtvarPhi'sqrtvarPhi x_T sqrtx_varPhi. labeleq:x Vergleichen wir eqrefeq:exp und eqrefeq:x so können wir sehen dass wir die Variablen einfach durch die entsprechen x und die Proportionalität durch eine Gleichheit ersetzen können. Nun ist aber bei der einen Grösse die prozentuale Veränderung und nicht der Faktor angegeben. Wir müssen deshalb diesen Faktor noch umschreiben. Man betrachte dazu die folgen Beispiele: medskip renewcommandarraystretch. tabularxtextwidth|X|X| hline Prozentuale Veränderung & Faktor hline +percent & + . . hline -percent & + -. . hline tabularx Wir können sehen dass der Übergang von der prozentualen Veränderung zum Faktor immer mit glqq+dotsgrqq erfolgt. Wir können deshalb x + eta schreiben wobei eta die vorzeichenbehaftete prozentuale Veränderung ist: al x_T sqrt+eta_varPhi sqrt+-. .
Mit welchem Faktor muss man die Oberflächentemperatur verändern um den Strom der abgestrahlten Wärme um .percent zu reduzieren?
Solution:
Zunächst muss man den formalen Zusammenhang zwischen der Oberflächentemperatur und dem Wärmestrom kennen. Dieser ist über das Stefan-Boltzmann-Gesetz gegeben: al varPhi epsilon sigma T^. Wir fassen nun alles was sich innerhalb der Aufgabe textbfnicht verändert zu einer Konstante zusammen: al varPhi underbraceepsilon sigma_const T^ varPhi const T^ varPhi &sim T^. labeleq:exp Das Proportionalitätszeichen glqqsimgrqq bedeutet nämlich nichts anderes als glqqconstgrqq. Wir stellen die Proportionalität nun nach der gesuchten Grösse um: al T &sim sqrtvarPhi. Wir führen nun die Variablen x_T fracT'T und x_varPhifracvarPhi'varPhi ein Verhältnis von neu zu alt. Damit lässt sich die Proportionalität umschreiben zu: al fracTsqrtvarPhi const fracTsqrtvarPhi fracT'sqrtvarPhi' fracT'T fracsqrtvarPhi'sqrtvarPhi x_T sqrtx_varPhi. labeleq:x Vergleichen wir eqrefeq:exp und eqrefeq:x so können wir sehen dass wir die Variablen einfach durch die entsprechen x und die Proportionalität durch eine Gleichheit ersetzen können. Nun ist aber bei der einen Grösse die prozentuale Veränderung und nicht der Faktor angegeben. Wir müssen deshalb diesen Faktor noch umschreiben. Man betrachte dazu die folgen Beispiele: medskip renewcommandarraystretch. tabularxtextwidth|X|X| hline Prozentuale Veränderung & Faktor hline +percent & + . . hline -percent & + -. . hline tabularx Wir können sehen dass der Übergang von der prozentualen Veränderung zum Faktor immer mit glqq+dotsgrqq erfolgt. Wir können deshalb x + eta schreiben wobei eta die vorzeichenbehaftete prozentuale Veränderung ist: al x_T sqrt+eta_varPhi sqrt+-. .