Exercise:
Wir betrachten eine Serienschaltung aus einer Kapazität C einer Induktivität L und einem ohmschen Widerstand R. enumerate item Bei welcher Frequenz f_ hat diese Schaltung einen extremalen Widerstand? Berechnen Sie diese Frequenz formal in Abhängigkeit von L C und R und geben Sie an ob es ein Maximum oder ein Minimum ist. item Berechnen Sie diese Frequenz und die Teilspannungen sowie deren gegenseitige Phasenlage numerisch für die Werte itemize item ROmega item LmathrmmH item CmumathrmF item UmathrmV itemize Interpretieren Sie das Ergebnis: Impedanz und Phase im Resonanzfall f_. item Skizzieren Sie in einem Diagramm die Wechselstromwiderstände X_L X_C und Z als Funktion der Frequenz f. enumerate

Solution:
enumerate % addtocounterenumi oder setcounterenumi item Die Funktion für die Impedanz lautet: Z sqrtR^ + left omega L - fracomega C right^ sqrtR^ + left pi f L - frac pi f C right^ Diese hat offensichtlich ein bf Minimum wenn: pi f L - frac pi f C Das führt zur Frequenz: f_ frac pi sqrtfracL C item Numerisch ergibt sich: f_ frac pi sqrtfrac. mathrmH ^- mathrmF . mathrmHz. Bei dieser Frequenz sind X_C und X_L gleich gross: X_L X_C pi f_ L . Omega. Die Gesamtimpedanz beträgt dann: Z_ Omega und die Stromstärke: I_ . mathrmA. Die Phase varphi ergibt sich zu: varphi arctanleftfracU_L - U_CU_Rright arctan^circ. Strom und Spannung sind also textbfin Phase. Die Schaltung verhält sich wie ein reiner ohmscher Widerstand. L und C sind wirkungslos obwohl die Spannungen U_L und U_C enorm gross sind . mathrmV jedoch um ^circ gegeneinander phasenverschoben. item Das Diagramm zeigt die Gesamtimpedanz Z und die Wechselstromwiderstände X_L und X_C in Abhängigkeit der Frequenz. tikzpicture axis widthcm heightcm xlabelFrequenz f Hz ylabelWiderstand Omega xmin xmax ymin ymax gridboth minor tick num leg posnorth west % X_L plot addplot domain: samples thick red * . * x * .; % X_L *pi*f*L addlegentryX_L % X_C plot addplot domain: % Start bei f um Division durch zu vermeiden samples thick blue / * . * x * ; % X_C /*pi*f*C addlegentryX_C % Z plot addplot domain: samples thick green sqrt^ + * . * x * . - / * . * x * ^; % Z sqrtR^ + XL - XC^ addlegentryZ axis tikzpicture enumerate