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Exercise:
Untersuche die folgen Reihen auf Konvergenz: abcliste abc displaystyle_n^inftyfraclog nn^ abc displaystyle_n^inftylog n^-log n abcliste

Solution:
abcliste abc Der Logarithmus wächst langsamer als jede Potenz d.h. exists~ c so dass log n le cn^frac. Damit gilt für die Reihe _n^infty fraclog nn^ &le _n^infty fraccn^fracn^ &le c _n^infty fracn^frac c zetaleftfracright & infty. abc Es gilt _n^inftylog n^-log n _n^inftyfraclefte^loglog nright^log n _n^inftyfraclefte^log nright^loglog n _n^inftyfracn^loglog n. Nun ist für x die Funktion fxloglog x monoton wachs d.h. loglog x' fraclog x fracx & . Ausserdem gilt für x e^e^ dass fx. Wähle nun n_e^e^ so gilt _n^infty fracn^loglog n & _n^n_fracn^loglog n + _nn_+^infty fracn^ & infty. abcliste
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Exercise:
Untersuche die folgen Reihen auf Konvergenz: abcliste abc displaystyle_n^inftyfraclog nn^ abc displaystyle_n^inftylog n^-log n abcliste

Solution:
abcliste abc Der Logarithmus wächst langsamer als jede Potenz d.h. exists~ c so dass log n le cn^frac. Damit gilt für die Reihe _n^infty fraclog nn^ &le _n^infty fraccn^fracn^ &le c _n^infty fracn^frac c zetaleftfracright & infty. abc Es gilt _n^inftylog n^-log n _n^inftyfraclefte^loglog nright^log n _n^inftyfraclefte^log nright^loglog n _n^inftyfracn^loglog n. Nun ist für x die Funktion fxloglog x monoton wachs d.h. loglog x' fraclog x fracx & . Ausserdem gilt für x e^e^ dass fx. Wähle nun n_e^e^ so gilt _n^infty fracn^loglog n & _n^n_fracn^loglog n + _nn_+^infty fracn^ & infty. abcliste
Contained in these collections:

Attributes & Decorations
Tags
analysis, divergenz, konvergenz, logarithmus, mathematik, potenz, reihe, riemann, riemann'sche, zeta-funktion
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Difficulty
(5, default)
Points
8 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Calculative / Quantity
Creator uz
Decoration
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