Relativ offene oder abgeschlossene Teilmengen
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Exercise:
Sei X ein metrischer Raum und Ysubseteq X ein Teilraum. Eine Teilmenge von Y ist offen bzgl. der induzierten Metrik g.d.w. sie die Form Ocap Y hat wobei Osubseteq X eine offene Teilmenge in X ist. Ebenso ist eine Teilmenge von Y abgeschlossen g.d.w. sie die Form Acap Y hat wobei Asubseteq X eine abgeschlossene Teilmenge ist. Man sagt in diesem Zusammenhang auch dass Ocap Y in Y offen oder relativ offen und Acap Y in Y abgeschlossen oder relativ abgeschlossen ist. Relativ me in diesem Fall also den glqq Bezug zu welcher Teilmengegrqq
Solution:
Beweis. Sei Osubseteq X offen und y_in Ocap Y. Dann gibt es ein epsilon mit B_epsilon^Xy_xin X|textdxy_ epsilonsubseteq O Dies impliziert aber B_epsilon^Yy_yin Y|textdyy_ epsilonsubseteq Ocap Y womit Ocap Y eine offene Teilmenge in Y ist. Sei nun umgekehrt O_Ysubseteq Y eine offene Teilmenge. Dann existiert für jedes yin O_Y ein epsilon_y mit B_epsilon_y^Ysubseteq O_Y. Man definiert Obigcup_yin O_YB_epsilon_y^Xy. Da O eine Vereinigung von offenen Bällen ist folgt dass O eine offene Teilmenge von X ist. Man zeigt nun dass O_YOcap Y erfüllt ist. Für yin O_Y gilt yin B_epsilon_y^X ysubseteq O und damit yin Ocap Y. Falls umgekehrt yin Ocap Y ist dann existiert ein y'in O_Y mit yin B_epsilon_y'^Xy'. Daraus folgt aber yin B_epsilon_y'^Yy'subseteq O_Y. Dies zeigt dass O_YOcap Y ist.
Sei X ein metrischer Raum und Ysubseteq X ein Teilraum. Eine Teilmenge von Y ist offen bzgl. der induzierten Metrik g.d.w. sie die Form Ocap Y hat wobei Osubseteq X eine offene Teilmenge in X ist. Ebenso ist eine Teilmenge von Y abgeschlossen g.d.w. sie die Form Acap Y hat wobei Asubseteq X eine abgeschlossene Teilmenge ist. Man sagt in diesem Zusammenhang auch dass Ocap Y in Y offen oder relativ offen und Acap Y in Y abgeschlossen oder relativ abgeschlossen ist. Relativ me in diesem Fall also den glqq Bezug zu welcher Teilmengegrqq
Solution:
Beweis. Sei Osubseteq X offen und y_in Ocap Y. Dann gibt es ein epsilon mit B_epsilon^Xy_xin X|textdxy_ epsilonsubseteq O Dies impliziert aber B_epsilon^Yy_yin Y|textdyy_ epsilonsubseteq Ocap Y womit Ocap Y eine offene Teilmenge in Y ist. Sei nun umgekehrt O_Ysubseteq Y eine offene Teilmenge. Dann existiert für jedes yin O_Y ein epsilon_y mit B_epsilon_y^Ysubseteq O_Y. Man definiert Obigcup_yin O_YB_epsilon_y^Xy. Da O eine Vereinigung von offenen Bällen ist folgt dass O eine offene Teilmenge von X ist. Man zeigt nun dass O_YOcap Y erfüllt ist. Für yin O_Y gilt yin B_epsilon_y^X ysubseteq O und damit yin Ocap Y. Falls umgekehrt yin Ocap Y ist dann existiert ein y'in O_Y mit yin B_epsilon_y'^Xy'. Daraus folgt aber yin B_epsilon_y'^Yy'subseteq O_Y. Dies zeigt dass O_YOcap Y ist.