Exercise
https://texercises.com/exercise/reparametrisierungen-und-richtungsumkehr-eines-weges/
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Exercise:
Sei Usubseteq mathbbR^n eine offene Teilmenge f:Urightarrow mathbbR^n ein stetiges Vektorfeld und sei gamma:abrightarrow mathbbR^d ein stetig differenzierbarer Weg für a b. Dann ändert sich der Wert des Wegegrals _gammaf dds nicht unter orienterunserhalten Reparametrisierungen von gamma. Weiter gilt für den umgekehrten Weg tildegamma-agammaa _tildegammafdds-_gammafdds

Solution:
Beweis. Sei tildeatildeb ein kompaktes Intervall mit Endpunkten tildea tildeb und psi:tildeatildebrightarrowab eine stetig differenzierbare monoton wachse bijektive Funktion. Dann gilt _gammacircpsifdds_tildea^tildeblangle fgammapsitgammacircpsi'trangleddt _tildea^tildeblangle fgammapsitgamma'psitranglepsi'tddt _a^blangle fgammasgamma'srangleddt _gammafdds Die zweite Aussage folgt mit selbiger Rechnung und der Funktion psi:-b-arightarrowab tmapsto -t mit psi't- für alle tin -b-a.
Meta Information
\(\LaTeX\)-Code
Exercise:
Sei Usubseteq mathbbR^n eine offene Teilmenge f:Urightarrow mathbbR^n ein stetiges Vektorfeld und sei gamma:abrightarrow mathbbR^d ein stetig differenzierbarer Weg für a b. Dann ändert sich der Wert des Wegegrals _gammaf dds nicht unter orienterunserhalten Reparametrisierungen von gamma. Weiter gilt für den umgekehrten Weg tildegamma-agammaa _tildegammafdds-_gammafdds

Solution:
Beweis. Sei tildeatildeb ein kompaktes Intervall mit Endpunkten tildea tildeb und psi:tildeatildebrightarrowab eine stetig differenzierbare monoton wachse bijektive Funktion. Dann gilt _gammacircpsifdds_tildea^tildeblangle fgammapsitgammacircpsi'trangleddt _tildea^tildeblangle fgammapsitgamma'psitranglepsi'tddt _a^blangle fgammasgamma'srangleddt _gammafdds Die zweite Aussage folgt mit selbiger Rechnung und der Funktion psi:-b-arightarrowab tmapsto -t mit psi't- für alle tin -b-a.
Contained in these collections:

Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, fs23, proof, wegintegral
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Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Creator rk
Decoration
File
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