Exercise:
Sei f eine Riemann-egrierbare reellwertige Funktion auf a b. Dann ist _a^b fx ddx der Grenzwert der Riemann-Summen Rfzetabf z wenn die Maschenweite |zeta| der Zerlegung gegen Null geht. Formal geschrieben gilt also forall epsilon exists delta forall zeta forall bf z:|zeta| delta Longrightarrow left|Rfzetabf z-_a^b fxddxright| epsilon wobei zeta über die Zerlegungen von a b läuft und bf z über die erlaubten Wahlen von Zwischenpunkten der Zerlegung zeta wie in Definition . läuft.

Solution:
Wir beweisen den Satz zuerst unter der zusätzlichen Annahme dass f stetig ist. Dank dem Sandwich-Kriterium für Riemann-Integrierbarkeit aus Proposition . wird sich dies als ausreich herausstellen. Sei also f : a b rightarrow mathbbR stetig und epsilon . Nach Satz . ist f gleichmässig stetig womit delta existiert mit |fx-fy| epsilon für alle xy in ab welche |x-y| delta erfüllen. Sei zeta a x_ x_ ... x_n b eine Zerlegung mit Maschenweite |zeta| delta und z z_...z_n in a b^n eine erlaubte Wahl von Zwischenpunkten. Dann gilt für alle k in ... n wegen der Dreiecksungleichung für das Riemann-Integral in Satz . left|_x_k-^x_k fxddx-fz_kx_k-x_k-right| left|_x_k-^x_k fx-fz_kddxright| &leq _x_k-^x_k |fx-fz_k|ddx & epsilon x_k-x_k- In der Tat ist z_k in x_k-x_k |x_kx_k-| delta wegen |zeta| delta und somit |fx-fz_k| epsilon für alle x in x_k-x_k. Insbesondere ist left|_a^b fxddx- Rfzetabf zright| &leq _k^n left|_x_k-^x_k fxddx-fz_kx_k-x_k-right| & _k^n epsilon x_k-x_k- epsilon b-a Da epsilon Zerlegung zeta mit |zeta| delta sowie die erlaubten Zwischenpunkte bf z beliebig waren beweist dies die Proposition für alle stetigen Funktionen f. Sei nun f eine beliebige R-bare Funktion und sei epsilon . Nach Proposition . existieren f_-f_+ in Cab mit f_- leq f leq f_+ und _a^b f_+-f_- ddx fracepsilon. Nach der oben schon bewiesenen Aussage sei delta mit der Eigenschaft dass für alle Zerlegungen zeta mit |zeta| delta und für alle erlaubten Zwischenpunkte bf z left|Rfzetabf z-_a^b f_+xddxright| fracepsilon und genauso für f_-. Nun gilt Rfzetabf zleq Rf_+zetabf z _a^b f_+xddx+fracepsilon _a^b fxddx+epsilon und unter Verwung von f_- auf ähnliche Weise Rfzetabf z _a^b fxddx-epsilon. Damit ist der Satz bewiesen.