Rollgeschwindigkeit von Billardkugel
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The following quantities appear in the problem:
The following formulas must be used to solve the exercise:
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Exercise:
Eine ruhe Billardkugel erhalte durch das Queue einen kurzen Stoss. Der Kraftstoss erfolge horizontal und treffe die Kugel fracr unterhalb ihres Mittelpunktes. Die Anfangsgeschwindigkeit der Kugel sei v_. Bei welcher Geschwindigkeit nt die Kugel zu rollen?
Solution:
Der vom Queue auf die Kugel übertragene Impuls erzeugt ein Drehmoment M fracr F Somit ist alpha fracMJ fracfrac rFfracmr^ fracFmr. Weil die Kugel aus der Ruhe startet und der Stoss durch den Queue die Dauer Delta t hat ist die Winkelgeschwindigkeit nach dem Stoss omega_ alpha Delta t fracFmr Delta t fracr fracFm Delta t fracr a Delta t fracr v_ Dies ist der Betrag der Winkelgeschwindigkeit. Die Kugel startet aber ihre Drehung entgegengesetzt zur Richtung der Translationsbewegung. Weil die Kugel auf dem Tisch rotiert wirkt eine Reibungskraft F so dass die Translation verlangsamt und der Drehsinn umgekehrt wird. Also ist v v_ -at v_ - fracFmtquad mboxund M rF Jalpha. Daraus erhalten wir alpha fracMJ fracrFfrac mr^ fracFmr quad mboxsowie omega -omega_ + alpha t. Nun verwen wir vromega und erhalten die Gleichung -fracv_ + frac fracFm t v_ -fracFmt was nach der Zeit aufgelöst t fracfracv_ mF ergibt. Setzt man das in den Ausdruck für v ein so erhält man v fracv_.
Eine ruhe Billardkugel erhalte durch das Queue einen kurzen Stoss. Der Kraftstoss erfolge horizontal und treffe die Kugel fracr unterhalb ihres Mittelpunktes. Die Anfangsgeschwindigkeit der Kugel sei v_. Bei welcher Geschwindigkeit nt die Kugel zu rollen?
Solution:
Der vom Queue auf die Kugel übertragene Impuls erzeugt ein Drehmoment M fracr F Somit ist alpha fracMJ fracfrac rFfracmr^ fracFmr. Weil die Kugel aus der Ruhe startet und der Stoss durch den Queue die Dauer Delta t hat ist die Winkelgeschwindigkeit nach dem Stoss omega_ alpha Delta t fracFmr Delta t fracr fracFm Delta t fracr a Delta t fracr v_ Dies ist der Betrag der Winkelgeschwindigkeit. Die Kugel startet aber ihre Drehung entgegengesetzt zur Richtung der Translationsbewegung. Weil die Kugel auf dem Tisch rotiert wirkt eine Reibungskraft F so dass die Translation verlangsamt und der Drehsinn umgekehrt wird. Also ist v v_ -at v_ - fracFmtquad mboxund M rF Jalpha. Daraus erhalten wir alpha fracMJ fracrFfrac mr^ fracFmr quad mboxsowie omega -omega_ + alpha t. Nun verwen wir vromega und erhalten die Gleichung -fracv_ + frac fracFm t v_ -fracFmt was nach der Zeit aufgelöst t fracfracv_ mF ergibt. Setzt man das in den Ausdruck für v ein so erhält man v fracv_.