Sagittarrius A
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The following quantities appear in the problem:
Energie \(E\) / Volumen \(V\) / Radius \(r\) / Kraft \(F\) / Masse \(m\) / Strecke \(s\) / Arbeit \(W\) / Dichte \(\varrho\) / Geschwindigkeit \(v\) /
The following formulas must be used to solve the exercise:
\(W = \int F(s)\,\text{d}s \quad \) \(\varrho = \dfrac{m}{V} \quad \) \(v = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} \quad \) \(F = G \dfrac{m_1m_2}{r^2} \quad \) \(E_{\rm \scriptscriptstyle kin} = \dfrac12 mv^2 \quad \) \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \quad \) \(r_{\rm s} = \dfrac{2GM}{c^2} \quad \)
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Exercise:
Im Sternbild Schütze befindet sich Sagittarrius A^star -- ein supermassereiches schwarzes Loch von . Millionen Sonnenmassen mit einem Durchmesser von . Millionen Kilometern. Berechne den Durchmesser des Ereignishorizontes dieses schwarzen Loches. Oder anders ausgedrückt: Ab welchem Abstand vom schwarzen Loch beträgt die Fluchtgeschwindigkeit gerade genau Lichtgeschwindigkeit? Die Masse der Sonne beträgt .eGt. Die Lichtgeschwindigkeit beträgt .
Solution:
NewQtyM.ekg NewQtyd.em NewQtyc NewQtyG.cubicmeterperkilogrampersecondsquared % center tikzpicture filldrawcolorblack circle .cm; drawcolorred dashed circle cm; nodecolorred at -. Ereignishorizont; filldrawcolorblue circle .cm; drawcolorblustealth -- noderight vc; drawcolorgreen!!black-latex --- nodeabove D; drawcolorgreen!!black-latex rotate .-- nodeabove h; tikzpicture center Um aus dem Gravitationsfeld eines Objektes fliehen zu können muss die glqq Hubarbeitgrqq ins Unliche mittels kinetischer Energie überwunden werden können; die entspreche Geschwindigkeit nennt man Fluchtgeschwindigkeit und für sie gilt folglich: Ekin Epot fracmv^ _R^infty GfracMmr^textdr v sqrtfracGMr Aufgelöst nach dem Radius und vc gesetzt erhält man: SolQtyrfracGMv^*GX*MX/cX/cXm r rF fracGMqtyc^ r Der Durchmesser des Ereignishorizontes ist somit: SolQtyD r*rXm D DF fracGMv^ frac G Mqtyc^ D Oder anders ausgedrückt ist der Abstand zwischen Oberfläche des schwarzen Loches und dem Ereignishorizont: SolQtyhfracD-dDX-dX/m h hF fracfracGMv^ - d frac frac G Mqtyc^ - d h
Im Sternbild Schütze befindet sich Sagittarrius A^star -- ein supermassereiches schwarzes Loch von . Millionen Sonnenmassen mit einem Durchmesser von . Millionen Kilometern. Berechne den Durchmesser des Ereignishorizontes dieses schwarzen Loches. Oder anders ausgedrückt: Ab welchem Abstand vom schwarzen Loch beträgt die Fluchtgeschwindigkeit gerade genau Lichtgeschwindigkeit? Die Masse der Sonne beträgt .eGt. Die Lichtgeschwindigkeit beträgt .
Solution:
NewQtyM.ekg NewQtyd.em NewQtyc NewQtyG.cubicmeterperkilogrampersecondsquared % center tikzpicture filldrawcolorblack circle .cm; drawcolorred dashed circle cm; nodecolorred at -. Ereignishorizont; filldrawcolorblue circle .cm; drawcolorblustealth -- noderight vc; drawcolorgreen!!black-latex --- nodeabove D; drawcolorgreen!!black-latex rotate .-- nodeabove h; tikzpicture center Um aus dem Gravitationsfeld eines Objektes fliehen zu können muss die glqq Hubarbeitgrqq ins Unliche mittels kinetischer Energie überwunden werden können; die entspreche Geschwindigkeit nennt man Fluchtgeschwindigkeit und für sie gilt folglich: Ekin Epot fracmv^ _R^infty GfracMmr^textdr v sqrtfracGMr Aufgelöst nach dem Radius und vc gesetzt erhält man: SolQtyrfracGMv^*GX*MX/cX/cXm r rF fracGMqtyc^ r Der Durchmesser des Ereignishorizontes ist somit: SolQtyD r*rXm D DF fracGMv^ frac G Mqtyc^ D Oder anders ausgedrückt ist der Abstand zwischen Oberfläche des schwarzen Loches und dem Ereignishorizont: SolQtyhfracD-dDX-dX/m h hF fracfracGMv^ - d frac frac G Mqtyc^ - d h