Exercise:
Die Saturn-V-Rakete welche im Apollo-Programm verwet wurde hatte eine Anfangsmasse von .ekg eine Nutzlast von % und bei einer Verbrennungsgeschwindigkeit von .tonnepersecond einen Schub von MN. Bestimme abcliste abc die Ausstossgeschwindigkeit abc die Verbrennungszeit abc die Beschleunigung beim Abheben abc die Beschleunigung am Ende der Verbrennung und abc die Endgeschwindigkeit der Rakete. abcliste

Solution:
abcliste abc Die Ausstossgeschwindigkeit des Gases verbrannten Treibstoffes beträgt: u fracF_textthrustfractextdmtextdt fraceNkilogrampersecond .e .kilometerpersecond abc Gemäss Text macht die Nutzlast % aus; der Treibstoff hatte also anfänglich % Anteil an der Gesamtmasse d.h. m_T . .ekg .ekg. Bei einer Verbrennungsrate von .tonnepersecond dauert der Abbrand des gesamten Treibstoffes folglich: tau fracm_Tfractextdmtextdt frac. mfractextdmtextdt frac.ekgkilogrampersecond s min~s abc Die Anfangsbeschleunigung der Rakete erhält man aus der Raketengleichung: m fractextdvtextdt u fractextdmtextdt + F_textext m fractextdvtextdt u fractextdmtextdt - mg Daraus erhält man direkt: fractextdvtextdt fracum fractextdmtextdt - g a' frac.e.ekg kilogrampersecond -.q .q approx .g abc In dem Moment in dem der gesamte Treibstoff verbrannt ist beträgt die Beschleunigung der Rakete: fractextdvtextdt fracum_e fractextdmtextdt - g a'' frac.e. .ekg kilogrampersecond -.q .q approx .g abc Die Endgeschwindigkeit der Rakete erhält man über Integration der Raketengleichung vom Zeitpunkt bis tau Treibstoff abgebrannt: m fractextdvtextdt u fractextdmtextdt + F_textext fractextdvtextdt fracum fractextdmtextdt -g Da fractextdmtextdt ist die Masse nimmt ja ab kann man schreiben: textdv -fracum textdm - g textdt textdv -u fractextdmm - g textdt Integration über die jeweiligen Variablen führt auf folge Gleichung: textdv -u fractextdmm - g textdt _v_a^v_e textdv -_m_a^m_e u fractextdmm - _^tau g textdt v_v_a -u lnfracm_em_a -gtau Da ja die Rakete aus der Ruhe startet v_a gilt also: v_e u lnfracm_am_e -gtau .e lnfrac. -.q s .e - .e .e abcliste