Satz über den konstanten Rang
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
Solution
Short
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Exercise:
Sei Usubseteq mathbbR^n offen leq m n und F:Urightarrow mathbbR^m eine glatte Funktion so dass F keine kritischen Punkte in Mpin U| Fp besitzt das heisst textD_pF hat Rang m für alle pin M beziehungsweise ist ein regulärer Wert von F. Dann ist M eine n-m-dimensionale Teilmannigfaltigkeit von mathbbR^n. Insbesondere zeigt der Satz dass für jedes n die Sphäre mathbbS^n-subseteq mathbbR^n eine Teilmannigfaltigkeit von mathbbR^n ist. In der Tat ist mathbbS^n-leftx_...x_n^tin mathbbR^n| Fx_...x_nright für F:x_...x_n^tin mathbbR^nmapsto x_^+...+x_n^- und der einzige kritische Punkt von F ist der Ursprung notin mathbbS^n-.
Solution:
Beweis. Sei pin M. Nach Voraussetzung ist der Rang der totalen Ableitung textD_pF gleich textminmnm. Wie zuvor identifiziert man textD_pF mit der Jacobi-Matrix textF_pFin textMat_mnmathbbR mit m Zeilen und n Spalten. Nach Annahme existieren m dieser Spalten welche gemeinsam eine invertierbare Matrix bilden. Wenn nötig vertauscht man die Koordinaten in mathbbR^n diese Abbildung wird Teil des Diffeomorphismus und bezeichnet die ersten kn-m Koordinaten mit x und die letzten m Koordinaten mit y. Durch diese Vertauschung kann man annehmen dass partial_yFp invertierbar ist. In anderen Worten erfüllt die Gleichung Fxy bei dem Punkt px_y_ und für ein geeignetes r mit B_rx_times B_ry_subseteq U die Voraussetzung des Satzes über implizite Funktionen Satz . und . und man erhält offene Umgebungen U_subseteq B_rx_ von x_ und V_subseteq B_ry_ von y_ so dass Mcap U_times V_textGraphf für eine glatte Funktion f:U_rightarrow V_. Man kann also U_pU_times V_ und den Diffeomorphismus durch phi_:U_times V_&rightarrow phi_U_times V_ xy&mapsto x y-fx definieren. Da pin M beliebig war beweist dies den Satz.
Sei Usubseteq mathbbR^n offen leq m n und F:Urightarrow mathbbR^m eine glatte Funktion so dass F keine kritischen Punkte in Mpin U| Fp besitzt das heisst textD_pF hat Rang m für alle pin M beziehungsweise ist ein regulärer Wert von F. Dann ist M eine n-m-dimensionale Teilmannigfaltigkeit von mathbbR^n. Insbesondere zeigt der Satz dass für jedes n die Sphäre mathbbS^n-subseteq mathbbR^n eine Teilmannigfaltigkeit von mathbbR^n ist. In der Tat ist mathbbS^n-leftx_...x_n^tin mathbbR^n| Fx_...x_nright für F:x_...x_n^tin mathbbR^nmapsto x_^+...+x_n^- und der einzige kritische Punkt von F ist der Ursprung notin mathbbS^n-.
Solution:
Beweis. Sei pin M. Nach Voraussetzung ist der Rang der totalen Ableitung textD_pF gleich textminmnm. Wie zuvor identifiziert man textD_pF mit der Jacobi-Matrix textF_pFin textMat_mnmathbbR mit m Zeilen und n Spalten. Nach Annahme existieren m dieser Spalten welche gemeinsam eine invertierbare Matrix bilden. Wenn nötig vertauscht man die Koordinaten in mathbbR^n diese Abbildung wird Teil des Diffeomorphismus und bezeichnet die ersten kn-m Koordinaten mit x und die letzten m Koordinaten mit y. Durch diese Vertauschung kann man annehmen dass partial_yFp invertierbar ist. In anderen Worten erfüllt die Gleichung Fxy bei dem Punkt px_y_ und für ein geeignetes r mit B_rx_times B_ry_subseteq U die Voraussetzung des Satzes über implizite Funktionen Satz . und . und man erhält offene Umgebungen U_subseteq B_rx_ von x_ und V_subseteq B_ry_ von y_ so dass Mcap U_times V_textGraphf für eine glatte Funktion f:U_rightarrow V_. Man kann also U_pU_times V_ und den Diffeomorphismus durch phi_:U_times V_&rightarrow phi_U_times V_ xy&mapsto x y-fx definieren. Da pin M beliebig war beweist dies den Satz.
Meta Information
Exercise:
Sei Usubseteq mathbbR^n offen leq m n und F:Urightarrow mathbbR^m eine glatte Funktion so dass F keine kritischen Punkte in Mpin U| Fp besitzt das heisst textD_pF hat Rang m für alle pin M beziehungsweise ist ein regulärer Wert von F. Dann ist M eine n-m-dimensionale Teilmannigfaltigkeit von mathbbR^n. Insbesondere zeigt der Satz dass für jedes n die Sphäre mathbbS^n-subseteq mathbbR^n eine Teilmannigfaltigkeit von mathbbR^n ist. In der Tat ist mathbbS^n-leftx_...x_n^tin mathbbR^n| Fx_...x_nright für F:x_...x_n^tin mathbbR^nmapsto x_^+...+x_n^- und der einzige kritische Punkt von F ist der Ursprung notin mathbbS^n-.
Solution:
Beweis. Sei pin M. Nach Voraussetzung ist der Rang der totalen Ableitung textD_pF gleich textminmnm. Wie zuvor identifiziert man textD_pF mit der Jacobi-Matrix textF_pFin textMat_mnmathbbR mit m Zeilen und n Spalten. Nach Annahme existieren m dieser Spalten welche gemeinsam eine invertierbare Matrix bilden. Wenn nötig vertauscht man die Koordinaten in mathbbR^n diese Abbildung wird Teil des Diffeomorphismus und bezeichnet die ersten kn-m Koordinaten mit x und die letzten m Koordinaten mit y. Durch diese Vertauschung kann man annehmen dass partial_yFp invertierbar ist. In anderen Worten erfüllt die Gleichung Fxy bei dem Punkt px_y_ und für ein geeignetes r mit B_rx_times B_ry_subseteq U die Voraussetzung des Satzes über implizite Funktionen Satz . und . und man erhält offene Umgebungen U_subseteq B_rx_ von x_ und V_subseteq B_ry_ von y_ so dass Mcap U_times V_textGraphf für eine glatte Funktion f:U_rightarrow V_. Man kann also U_pU_times V_ und den Diffeomorphismus durch phi_:U_times V_&rightarrow phi_U_times V_ xy&mapsto x y-fx definieren. Da pin M beliebig war beweist dies den Satz.
Sei Usubseteq mathbbR^n offen leq m n und F:Urightarrow mathbbR^m eine glatte Funktion so dass F keine kritischen Punkte in Mpin U| Fp besitzt das heisst textD_pF hat Rang m für alle pin M beziehungsweise ist ein regulärer Wert von F. Dann ist M eine n-m-dimensionale Teilmannigfaltigkeit von mathbbR^n. Insbesondere zeigt der Satz dass für jedes n die Sphäre mathbbS^n-subseteq mathbbR^n eine Teilmannigfaltigkeit von mathbbR^n ist. In der Tat ist mathbbS^n-leftx_...x_n^tin mathbbR^n| Fx_...x_nright für F:x_...x_n^tin mathbbR^nmapsto x_^+...+x_n^- und der einzige kritische Punkt von F ist der Ursprung notin mathbbS^n-.
Solution:
Beweis. Sei pin M. Nach Voraussetzung ist der Rang der totalen Ableitung textD_pF gleich textminmnm. Wie zuvor identifiziert man textD_pF mit der Jacobi-Matrix textF_pFin textMat_mnmathbbR mit m Zeilen und n Spalten. Nach Annahme existieren m dieser Spalten welche gemeinsam eine invertierbare Matrix bilden. Wenn nötig vertauscht man die Koordinaten in mathbbR^n diese Abbildung wird Teil des Diffeomorphismus und bezeichnet die ersten kn-m Koordinaten mit x und die letzten m Koordinaten mit y. Durch diese Vertauschung kann man annehmen dass partial_yFp invertierbar ist. In anderen Worten erfüllt die Gleichung Fxy bei dem Punkt px_y_ und für ein geeignetes r mit B_rx_times B_ry_subseteq U die Voraussetzung des Satzes über implizite Funktionen Satz . und . und man erhält offene Umgebungen U_subseteq B_rx_ von x_ und V_subseteq B_ry_ von y_ so dass Mcap U_times V_textGraphf für eine glatte Funktion f:U_rightarrow V_. Man kann also U_pU_times V_ und den Diffeomorphismus durch phi_:U_times V_&rightarrow phi_U_times V_ xy&mapsto x y-fx definieren. Da pin M beliebig war beweist dies den Satz.
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