Satz zur inversen Abbildung
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Exercise:
Sei Usubseteq mathbbR^n offen und f:Urightarrow mathbbR^n eine d-mal stetig differenzierbare Funktion mit dgeq . Sei x_in U mit invertierbarer totaler Ableitung textD_x_fin textMat_nnmathbbR das heisst x_ ist ein regulärer Punkt von f. Dann gibt es eine offene Umgebung U_subseteq U von x_ und eine offene Umgebung V_subseteq fU von y_fx_ so dass f|_U_:U_rightarrow V_ bijektiv ist und die Umkehrabbildung ebenso d-mal stetig differenzierbar ist lokaler C^d-Diffeomorphismus. Des Weiteren gilt textD_yf^-textD_xf^- für alle xin U_ und yfxin V_. Zentrale Aussage ist Invertierbarkeit der totalen Ableitung bei x_.
Solution:
Beweis. Sei r ein Radius mit B_rx_subseteq U. Man definiert F:B_rx_times B_ry_rightarrow mathbbR^n durch Fxy fx-y für xyin B_rx_times B_ry_ und man will die Gleichung Fxy nach x auflöst. Hierzu bemerkt man dass F d-mal stetig differenzierbar ist dass Fx_y_ ist und dass partial_xFx_y_textD_x_f per Annahme invertierbar ist. Daher erfüllt F alle Voraussetzungen des Satzes über implizite Funktionen Satz . und Satz . wobei x und y vertauschte Rollen einnehmen. Es folgt dass es Radien alpha betain r und eine d-mal stetig differenzierbare Funktion g:V_B_betay_rightarrow tildeUB_alphax_ gibt sodass für alle xyin tildeUtimes V_ die Äquivalenzen yfxiff Fxyiff xgy * gelten. Man definiert U_tildeUcap f^-V_ welche als Durchschnitt zweier offener Mengen wieder offen ist. Aus * folgt nun dass f|_U_:U_rightarrow V_ invertierbar ist und insbesondere V_subseteq fU ist und dass gf|_U_^-:V_rightarrow U_ die inverse Abbildung ist. Aus Satz . folgt weiters dass g d-mal stetig differenzierbar ist und dass für xin U_ und yfxin V_ textD_ygtextD_xf^- was auch aus der Kettenregel und gcirc f|_U_I_U_ folgt. Dies beet den Beweis des Satzes.
Sei Usubseteq mathbbR^n offen und f:Urightarrow mathbbR^n eine d-mal stetig differenzierbare Funktion mit dgeq . Sei x_in U mit invertierbarer totaler Ableitung textD_x_fin textMat_nnmathbbR das heisst x_ ist ein regulärer Punkt von f. Dann gibt es eine offene Umgebung U_subseteq U von x_ und eine offene Umgebung V_subseteq fU von y_fx_ so dass f|_U_:U_rightarrow V_ bijektiv ist und die Umkehrabbildung ebenso d-mal stetig differenzierbar ist lokaler C^d-Diffeomorphismus. Des Weiteren gilt textD_yf^-textD_xf^- für alle xin U_ und yfxin V_. Zentrale Aussage ist Invertierbarkeit der totalen Ableitung bei x_.
Solution:
Beweis. Sei r ein Radius mit B_rx_subseteq U. Man definiert F:B_rx_times B_ry_rightarrow mathbbR^n durch Fxy fx-y für xyin B_rx_times B_ry_ und man will die Gleichung Fxy nach x auflöst. Hierzu bemerkt man dass F d-mal stetig differenzierbar ist dass Fx_y_ ist und dass partial_xFx_y_textD_x_f per Annahme invertierbar ist. Daher erfüllt F alle Voraussetzungen des Satzes über implizite Funktionen Satz . und Satz . wobei x und y vertauschte Rollen einnehmen. Es folgt dass es Radien alpha betain r und eine d-mal stetig differenzierbare Funktion g:V_B_betay_rightarrow tildeUB_alphax_ gibt sodass für alle xyin tildeUtimes V_ die Äquivalenzen yfxiff Fxyiff xgy * gelten. Man definiert U_tildeUcap f^-V_ welche als Durchschnitt zweier offener Mengen wieder offen ist. Aus * folgt nun dass f|_U_:U_rightarrow V_ invertierbar ist und insbesondere V_subseteq fU ist und dass gf|_U_^-:V_rightarrow U_ die inverse Abbildung ist. Aus Satz . folgt weiters dass g d-mal stetig differenzierbar ist und dass für xin U_ und yfxin V_ textD_ygtextD_xf^- was auch aus der Kettenregel und gcirc f|_U_I_U_ folgt. Dies beet den Beweis des Satzes.