Exercise:
Eine sinusförmige Schallwelle mit einer Wellenlänge von lambda centim breitet sich in einem Rohr aus das aus einem geraden Stück und einem Halbkreis besteht vgl. Abb.. Der Ser befindet sich bei x und der Empfänger bei xc. Wir vernachlässigen die Dicke des Rohres und nehmen an dass sich die Hälfte der Schallwelle Amplitude durch den Halbkreis ausbreitet und anschliess wieder auf den Rest der Welle trifft der durch den geraden Abschnitt gelaufen ist. Dieses Zusammentreffen führt zu Interferenzen. center tikzpicture % Rohr oben draw thick -- ++ arc ::cm -- ++ ; % Rohr mitte draw thick . arc ::. -- ++ -.; % Rohr unten draw thick -. -- ++ ; % Radius draw - -- node left tiny r++ .*cos.*sin; % Achse draw - -. -- ++ node right tiny x; draw -.+. -- -.-. node below tiny x; draw .-./-.+. -- .-./-.-. node below tiny xa; draw .+*.+./-.+. -- .+*.+./-.-. node below tiny xb; draw .-.+. -- .-.-. node below tiny xc; % Beschriftung node at -./ tiny Ser; node at -./ tiny Empfänger; tikzpicture center enumerate item Schreiben Sie die allgemeine Wellenfunktion in den Punkten xa xb und xc hin. ~Pkt. item Wie lautet die Wellenfunktion am Punkt xc falls Sie die folge Summenformel sinalpha + sinbeta sinleftfracalpha+betarightcosleftfracalpha-betaright verwen. Pkt. item Berechnen Sie bis auf einen konstanten Vorfaktor C die mittlere Intensität Mittelung über die Zeit der Welle beim Empfänger sofern die mittlere Intensität gegeben ist als: barI_t C bigfxtbig^ fracC biggxbig^. Sofern fxt hxtgx ist und der zeitabhängige Term bei der Mittelung über die Zeit den Faktor tfrac gibt. Pkt. item Skizzieren Sie den graphischen Verlauf der mittleren Intensität beim Empfänger als Funktion des Radius r. Pkt. item Für welchen Wert von r tritt das erste Intensitätsminimum auf? Pkt. enumerate Falls Sie für die Teilaufgaben bf d & bf e kein eigenes Resultat haben verwen Sie für die mittlere Intensität: barI_t sim cos^leftfrackrpi - right wobei k die Wellenzahl ist.

Solution:
enumerate item Mit einer beliebigen Amplitude A ist die allgemeine Wellenfunktion vor dem Aufspalten gegeben als psixt A sinkx - omega t wobei k pi/lambda die Wellenzahl ist und omega vk die Kreisfrequenz mit der Schallgeschwindigkeit v. Im Punkt xa ist es somit: psiat A sinka - omega t. qquadtext~Pkt. Nun spaltet sich die Welle in zwei Teilwellen auf mit je halber Amplitude. Die eine legt eine Strecke rpi und die andere die Strecke r zurück. Bei xb kommt es wieder zur Überlagerung also psibt fracA sinka+rpi - omega t +fracA sinka+r - omega t.qquadtext~Pkt. Die neue Welle breitet sich dann nach x c aus psict fracA sinka+rpi+c-b - omega t +fracA sinka+r+c-b - omega t.qquadtext~Pkt. item Mit dem Additionstheorem finden wir psict A sinleftka+c-b + fracrpi+- omega trightcosleftfrackrpi-right. item Bis auf einen konstanten Vorfaktor C gilt: barI_t C fracA^ cos^leftfrackrpi-rightqquadtext~Pkt. da der zeitabhängige Term gemittelt den Faktor tfrac ergibt. item ~Pkt. center tikzpicturescale. % Koordinatensystem draw - thick -- node right tiny r cm; draw - thick -- node above tiny barI_t; % Funktion draw very thick blue plotdomain:samples x*cos./*x r*cos./*x r; % Beschriftung x-Achse draw . -- ++ -. node below tiny ; foreach x in ... draw x. -- ++ -. node below tiny x ; foreach x in ..... draw x. -- ++ -.; % Beschriftung y-Achse draw . -- ++ -. node left tiny ; foreach y in ... draw .y -- ++ -. node left tiny .y; foreach y in ...... draw .y -- ++ -.; tikzpicture center item Das erste Intensitätsminimum tritt bei der ersten Nullstelle der cos^ Funktion auf d.h. frackrpi - fracpi.qquadtext~Pkt. Das ist erfüllt für r frackfracpipi- fraclambdapi-.qquadtext/~Pkt. Einsetzen der Wellenlänge ergibt den Zahlenwert r .centim /~Pkt.. enumerate