Scheibenpendel
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Exercise:
Eine homogene Scheibe mit der Masse m und dem Radius r wird am Rand aufgehängt. abcliste abc Wie gross ist die Schwingungsdauer bei kleinen Auslenkungen? abc Wie lange muss ein mathematisches Pel sein damit es die gleiche Schwingungsdauer hat? abc Wie schwer muss ein solches mathematisches Pel sein? abc Eine weitere zur Figurenachse parallele Achse führt auf die selbe Schwingungsdauer wie in a berechnet. Wo sticht diese Achse durch dei Scheibe? abcliste
Solution:
abcliste abc Das Trägheitsmoment des Scheibenpel bezüglich des Aufhängepunktes wird mit dem Satz von Steiner berechnet: I frac mr^ + mr^ frac mr^. Für kleine Auslenkungen wirkt auf das Pel das Drehmoment M -r mg sin phi &approx -rmgphi. Die Bewegungsgleichung für das Scheibenpel lautet: M Ialpha -rmgphi fracmr^ ddot phi fracmr^ ddotphi +rmgphi . Diese kann umgestellt werden in die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators ddot phi + fracgr phi aus welcher man die Winkelfrequenz direkt abliest es gilt omega sqrtfracgr. abc Die Winkelfrequenz eines mathematischen Pels ist omega_m sqrtfracgl. Soll diese gleich der in a berechneten sein so muss die Länge des Pels l frac r betragen. abc Die Schwingungsdauer des mathematischen Pels hängt nicht von der Masse ab aufgrund der Identität von schwerer und träger Masse. abc Eine Änderung des Drehpunktes bewirkt eine Änderung des Trägheitsmomentes I' frac mr^ + ma^ sowie eine Änderung des wirksamen Drehmoments M' -amgphi. Analog zur Rechnung in a führt das im allgemeinen Fall auf die Winkelfrequenz omega' sqrtfracamgmleftfracr^+a^right. Diese muss gleich der in a berechneten sein. Daraus folgt a fracrpm r. Die zweite mögliche Achse hat demnach den Abstand fracr zum Zentrum. abcliste
Eine homogene Scheibe mit der Masse m und dem Radius r wird am Rand aufgehängt. abcliste abc Wie gross ist die Schwingungsdauer bei kleinen Auslenkungen? abc Wie lange muss ein mathematisches Pel sein damit es die gleiche Schwingungsdauer hat? abc Wie schwer muss ein solches mathematisches Pel sein? abc Eine weitere zur Figurenachse parallele Achse führt auf die selbe Schwingungsdauer wie in a berechnet. Wo sticht diese Achse durch dei Scheibe? abcliste
Solution:
abcliste abc Das Trägheitsmoment des Scheibenpel bezüglich des Aufhängepunktes wird mit dem Satz von Steiner berechnet: I frac mr^ + mr^ frac mr^. Für kleine Auslenkungen wirkt auf das Pel das Drehmoment M -r mg sin phi &approx -rmgphi. Die Bewegungsgleichung für das Scheibenpel lautet: M Ialpha -rmgphi fracmr^ ddot phi fracmr^ ddotphi +rmgphi . Diese kann umgestellt werden in die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators ddot phi + fracgr phi aus welcher man die Winkelfrequenz direkt abliest es gilt omega sqrtfracgr. abc Die Winkelfrequenz eines mathematischen Pels ist omega_m sqrtfracgl. Soll diese gleich der in a berechneten sein so muss die Länge des Pels l frac r betragen. abc Die Schwingungsdauer des mathematischen Pels hängt nicht von der Masse ab aufgrund der Identität von schwerer und träger Masse. abc Eine Änderung des Drehpunktes bewirkt eine Änderung des Trägheitsmomentes I' frac mr^ + ma^ sowie eine Änderung des wirksamen Drehmoments M' -amgphi. Analog zur Rechnung in a führt das im allgemeinen Fall auf die Winkelfrequenz omega' sqrtfracamgmleftfracr^+a^right. Diese muss gleich der in a berechneten sein. Daraus folgt a fracrpm r. Die zweite mögliche Achse hat demnach den Abstand fracr zum Zentrum. abcliste