Exercise:
In dieser Aufgabe leiten Sie die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung aus der Wellengleichung her. Die Wellengleichung in einer Dimension lautet: fracpartial^Extpartial x^ fracc^fracpartial^Extpartial t^ wobei Ext das elektrische Feld und c die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle Lichtgeschwindigkeit ist. enumerate item Setzen Sie eine harmonische Welle für das elektrische Feld E ein und leiten Sie die Beziehung zwischen der Wellenzahl k und der Kreisfrequenz omega her. Pkt. item Multipliziert man beide Seiten mit hbar erhält man die Bedingung zwischen Energie und Impuls eines Photons: E pc. Wie lautet die analoge Gleichung für ein massives Teilchen m mit der potentiellen Energie V. ~Pkt. item Welche Gleichungen müssen Sie für die Energie und den Impuls eingesetzt werden um damit die quantenmechanische Beziehung zwischen der Wellenzahl k und der Kreisfrequenz omega zu erhalten. Pkt. item Motivieren Sie aus der Beziehung in bf c die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung. Pkt. enumerate

Solution:
enumerate item Wir nehmen für die harmonische Welle Ext E_sinkx - omega t Pkt. an und erhalten: * fracpartial Extpartial x& kExt&text/ Pkt. fracpartial kExtpartial x& k^Ext&text/ Pkt. fracpartial Extpartial t& omega Ext&text/ Pkt. fracpartial omega Extpartial x& omega^Ext.&text/ Pkt. * Daraus ergibt sich: k^ fracc^omega^Leftrightarrow ck omega.qquadtext Pkt. item Die Gesamtenergie E_tot ist: E_tot E_kin + E_pot fracp^m + V.qquadtext Pkt. item Die dBrogliBeziehungen: p hbar k qquad E hbar omega.qquadtext Pkt. Daraus erhalten wir: hbar omega frachbar^k^m + V.qquadtext Pkt. item Die linke Seite erhält man durch eine zeitliche Ableitung d.h.: hbar omega fracpartialpartial tqquadtext Pkt. die rechte Seite durch hbar^ k^ fracpartial^partial x^.qquadtext Pkt. Möchte man für die harmonische Welle e^ikx - omega t einsetzen muss man der Gleichung noch einen Faktor i hinzufügen Pkt. daraus ergibt sich: ihbar fracpartialPsipartial t -frachbar^mfracpartialPsi^partial x^ + VPsi. enumerate