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https://texercises.com/exercise/schwerpunkt-kreissegment/
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Exercise:
Berechne den Schwerpunkt der in der Abbildung angegebenen Menge Omega. center tikzpicturescale. drawcolorgreen!!black -latex -.--. noderight x; drawcolorgreen!!black -latex -.--. nodeabove y; drawcolorblue!!white arc::; drawcolorblue!!white --; filldrawfillblue!!white opacity. arc:: -- cycle; drawcolorgreen!!black -. -- . nodeleft ; drawcolorgreen!!black -. -- . nodebelow ; tikzpicture center

Solution:
Da keine Angabe an der Massichte steht setzt man rho equiv . Die Masse von Omega lautet somit M _Omegaddmuxy. Man schreibt Omega als Normalbereich. Dazu betrachtet man die Abbildung wählt eine der beiden Variablen aus z.B. y und glqq vergisstgrqq die andere Variable in diesem Fall also x. Man liest leq yleq ab äusserste Grenzen. Dann fixiert man y und schaut was mit x passiert. x liegt zwischen der Geraden -y und der Kreislinie sqrt-y^. Somit Omega xymid leq yleq -yleq xleq sqrt-y^. Mit der Formel für Normalbereiche Erweiterung des Satzes von Fubini findet man dann: M _Omegaddmuxy _^ ddy _-y^sqrt-y^ ddx _^ ddy leftsqrt-y^-+yright left fracysqrt-y^+fracarcsiny-y+fracy^right_^ fracpi- Die x-Komponente des Schwerpunktes Sx_Sy_S lautet damit: x_S fracM_Omegaxddmuxy fracM_^ ddy _-y^sqrt-y^ ddxx fracM_^ ddy leftfracx^right_-y^sqrt-y^ fracM_^ ddy frac-y^--y^ fracM_^ ddy y-y^ fracMleftfrac-fracright fracM fracpi-. Für die y-Komponente gilt: y_S fracM_Omegayddmuxy fracM_^ ddyy _-y^sqrt-y^ ddx fracM_^ ddy leftysqrt-y^-y+y^right fracMleft-frac-y^frac+fracy^-fracy^right_^ fracMleft frac+frac-fracright fracM fracpi-. Damit folgt insgesamt: S x_Sy_S leftfracpi- fracpi-right.
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\(\LaTeX\)-Code
Exercise:
Berechne den Schwerpunkt der in der Abbildung angegebenen Menge Omega. center tikzpicturescale. drawcolorgreen!!black -latex -.--. noderight x; drawcolorgreen!!black -latex -.--. nodeabove y; drawcolorblue!!white arc::; drawcolorblue!!white --; filldrawfillblue!!white opacity. arc:: -- cycle; drawcolorgreen!!black -. -- . nodeleft ; drawcolorgreen!!black -. -- . nodebelow ; tikzpicture center

Solution:
Da keine Angabe an der Massichte steht setzt man rho equiv . Die Masse von Omega lautet somit M _Omegaddmuxy. Man schreibt Omega als Normalbereich. Dazu betrachtet man die Abbildung wählt eine der beiden Variablen aus z.B. y und glqq vergisstgrqq die andere Variable in diesem Fall also x. Man liest leq yleq ab äusserste Grenzen. Dann fixiert man y und schaut was mit x passiert. x liegt zwischen der Geraden -y und der Kreislinie sqrt-y^. Somit Omega xymid leq yleq -yleq xleq sqrt-y^. Mit der Formel für Normalbereiche Erweiterung des Satzes von Fubini findet man dann: M _Omegaddmuxy _^ ddy _-y^sqrt-y^ ddx _^ ddy leftsqrt-y^-+yright left fracysqrt-y^+fracarcsiny-y+fracy^right_^ fracpi- Die x-Komponente des Schwerpunktes Sx_Sy_S lautet damit: x_S fracM_Omegaxddmuxy fracM_^ ddy _-y^sqrt-y^ ddxx fracM_^ ddy leftfracx^right_-y^sqrt-y^ fracM_^ ddy frac-y^--y^ fracM_^ ddy y-y^ fracMleftfrac-fracright fracM fracpi-. Für die y-Komponente gilt: y_S fracM_Omegayddmuxy fracM_^ ddyy _-y^sqrt-y^ ddx fracM_^ ddy leftysqrt-y^-y+y^right fracMleft-frac-y^frac+fracy^-fracy^right_^ fracMleft frac+frac-fracright fracM fracpi-. Damit folgt insgesamt: S x_Sy_S leftfracpi- fracpi-right.
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  1. 10 | 10

Attributes & Decorations
Tags
analysis ii, eth, integral, mehrdimensional, normalbereiche, schwerpunkt
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Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Calculative / Quantity
Creator rk
Decoration
File
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