Schwimmendes Brett
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Exercise:
Ein quderförmiges Holzbrett schwimme auf dem Wasser. In seiner Ruhelage sei es .cm ins Wasser eingetaucht. Wird es senkrecht von oben angestossen so führt es eine vertikale harmonische Schwingung aus. Die Grundfläche bleibt dabei stets horizontal. Bestimme die Schwingungsdauer.
Solution:
Die Bewegungsgleichung einer harmonischen Schwingung ist allgemein mddotx -kx In diesem Falle ist m die Masse des Bretts also mm_rm Brett und ddotx die Beschleunigung des Bretts. Die rücktreibe Kraft muss genau der Kraft entsprechen die das Brett wieder nach oben drückt also kxFAx. Nun sieht die Bewegungsgleichung also so aus: m_rm Brettddotx -FAx varrho_rm Brett A_rm Brett d ddotx -varrho_rm H_O g A_rm Brett x varrho_rm Brett d ddotx -varrho_rm H_O g x labelBew An dieser Stelle kann man sich fragen wie die Dichte des Wassers und des Bretts voneinander abhängen könnten. Aus der Anfangsbedingung der Aufgabe nämlich dass das Brett in Ruhelage um eine bekannte Länge eingetaucht ist gilt folge Gleichung gemäss Archimedischem Prinzip. FA FG varrho_rm H_O g V_rm Ver m_rm Brett g varrho_rm H_O A_rm Brett x_ varrho_rm Brett V_rm Brett varrho_rm H_O A_rm Brett x_ varrho_rm Brett A_rm Brett d varrho_rm Brett varrho_rm H_O fracx_d labelBrett wobei x_ die Eauchtiefe des Bretts und d die Dicke des Bretts ist. Tatsächlich gibt es also eine Beziehung zwischen den beiden Dichten der Dicke und der Eauchstiefe. Einsetzen von Gleichung refBrett in refBew liefert: varrho_rm H_O fracx_d d ddotx -varrho_rm H_O g x x_ ddotx -g x Normiert erhält man ddotx + underbracefrac gx__omega_^ x Die Kreisfrequenz der Schwingung lässt sich wie folgt berechnen: omega_ sqrtfrac gx_ sqrtfrac.meterpersecondsquared.m radianpersecond
Ein quderförmiges Holzbrett schwimme auf dem Wasser. In seiner Ruhelage sei es .cm ins Wasser eingetaucht. Wird es senkrecht von oben angestossen so führt es eine vertikale harmonische Schwingung aus. Die Grundfläche bleibt dabei stets horizontal. Bestimme die Schwingungsdauer.
Solution:
Die Bewegungsgleichung einer harmonischen Schwingung ist allgemein mddotx -kx In diesem Falle ist m die Masse des Bretts also mm_rm Brett und ddotx die Beschleunigung des Bretts. Die rücktreibe Kraft muss genau der Kraft entsprechen die das Brett wieder nach oben drückt also kxFAx. Nun sieht die Bewegungsgleichung also so aus: m_rm Brettddotx -FAx varrho_rm Brett A_rm Brett d ddotx -varrho_rm H_O g A_rm Brett x varrho_rm Brett d ddotx -varrho_rm H_O g x labelBew An dieser Stelle kann man sich fragen wie die Dichte des Wassers und des Bretts voneinander abhängen könnten. Aus der Anfangsbedingung der Aufgabe nämlich dass das Brett in Ruhelage um eine bekannte Länge eingetaucht ist gilt folge Gleichung gemäss Archimedischem Prinzip. FA FG varrho_rm H_O g V_rm Ver m_rm Brett g varrho_rm H_O A_rm Brett x_ varrho_rm Brett V_rm Brett varrho_rm H_O A_rm Brett x_ varrho_rm Brett A_rm Brett d varrho_rm Brett varrho_rm H_O fracx_d labelBrett wobei x_ die Eauchtiefe des Bretts und d die Dicke des Bretts ist. Tatsächlich gibt es also eine Beziehung zwischen den beiden Dichten der Dicke und der Eauchstiefe. Einsetzen von Gleichung refBrett in refBew liefert: varrho_rm H_O fracx_d d ddotx -varrho_rm H_O g x x_ ddotx -g x Normiert erhält man ddotx + underbracefrac gx__omega_^ x Die Kreisfrequenz der Schwingung lässt sich wie folgt berechnen: omega_ sqrtfrac gx_ sqrtfrac.meterpersecondsquared.m radianpersecond