Exercise:
In einem horizontalen Rohr befindet sich eine mit q_ negativ geladene Kugel der Masse m die sich im Rohr reibungsfrei hin- und herbewegen kann. Ausserhalb des Rohres unterhalb seiner Mitte mit einigem Abstand d befindet sich fest montiert eine weitere positiv geladene Kugel mit der Ladung q_. Zeige dass unter Vernachlässigung jeglicher dämpfer Effekte die negativ geladene Kugel bei für kleine Auslenkungen yll d harmonisch schwingt. In der Schlussformel dürfen nur die genannten Variablen sowie allfällige allgemein bekannte Konstanten aus dem Umschlag der Formelsammlung vorkommen. center tikzpicturescale.stealth drawwhite .-- .; draw --; draw .--.; draw . ellipse . and .; draw .. controls -. and -.. .. .; drawdashed .. controls . and .. .. .; draw .. controls . and .. .. .; draw .. controls . and .. .. .; shadeball colorblue!!white . circle .; shadeball colorred!!white - circle .; node at - +; node at . -; drawsnakebrace colorgreen!!black . .--.- noderight midway d; shadeball colorblue!!white . circle .; shadeball colorred!!white - circle .; node at - +; node at . -; drawcolorgreen!!black- stealth .--. nodemidway above y; shadeball colorblue!!white . circle .; node at . -; %node at .- F_mboxscriptsizeelekt-kfracq_q_r^; draw- thick red .--.. noderight F; % angle: . degrees shadeball colorblue!!white . circle .; node at . -; filldrawfillyellow!drawyellow!!black . -- . arc :-.: -- cycle; node at . -. alpha; draw- thick red .--.. noderight F; % angle: . degrees draw- thick . -- +. -.;% nodebelow F_mboxscriptsizeelekt; % length: . shadeball colorblue!!white . circle .; %node at . -; %nodered at . - FF_mboxscriptsizeelekt cosalpha; %node at . -. cosalphafracyr; %node at . -. F -k fracq_q_y^+d^ fracysqrty^+d^; tikzpicture center

Solution:
Die Frage ist nun ob sich die blaue Kugel wenn sie aus ihrer Ruhelage ausgelenkt wird harmonisch schwingt. Die die Kugel rücktreibe Kraft ist die elektrische Anziehungskraft zwischen den beiden verschieden geladenen Kugeln. Die blaue Kugel erfährt dabei eine in der Skizze schwarz eingezeichnete Kraft in Richtung der roten Kugel mit der Stärke sscFE fracpiepsilon_ fracq_q_r^ fracpiepsilon_ fracq_q_d^+y^ wobei r^ d^+y^ der Abstand der beiden Kugeln ist. Der Kraftanteil der die blaue Kugel nun zurück zur Ruhelage bringt in der Skizze als roter Pfeil eingezeichnet ist: F -sscFE cosalpha -sscFE fracyr -sscFE fracysqrtd^+y^ -fracpiepsilon_ fracq_q_d^+y^ fracysqrtd^+y^ -fracpiepsilon_ fracq_q_d^+y^^frac y Egal wie man diesen letzten Ausdruck nun algebraisch umstellt man wird ihn nicht auf die Form F-Ky bringen. Es handelt sich hierbei also streng genommen nicht um eine harmonische Schwingung. Schaut man allerdings nur kleine Auslenkungen y an geme ist yll d so gilt y^+d^^frac approx d^^frac d^ und die rücktreibe Kraft wird zu: sscFres -fracpiepsilon_ fracq_q_d^+y^^frac y -fracq_q_piepsilon_ d^ y. Mit dem Aktionsprinzip folgt schliesslich al m at -fracq_q_piepsilon_ d^ yt at -underbracefracq_q_pi m epsilon_ d^_omega^ yt. Die Kreisfrequenz der Schwingung ist damit al omega sqrtfracq_q_pi m epsilon_ d^. labelkugelosz