Exercise:
Das abgebildete Schwungrad besitze die Masse m und den Radius R und könne sich frei um den Mittelpunkt drehen. Mit welcher Geschwindigkeit enquoterast der Punkt mathcalP durch die tiefste Lage? center tikzpicturescale filldrawcolorblack fillblack!!white circle .cm; filldrawcolorblack fillwhite -. circle .cm; filldrawblack . circle .cm nodeabove mathcalP; filldrawblack circle .cm; tikzpicture center

Solution:
Um die Aufgabe zu lösen muss man den Schwerpunkt sowie das Trägheitsmoment des abgebildeten Schwungrades kenen. Diese beiden nicht ganz kleinen Teilaufgaben bewältigen wir als erstes. itemize item bf Schwerpunkt: Wir betrachten Das Schwungrad als massive Scheibe mit Radius R und Masse M. Das Loch kann dann als eine glqq negativegrqq Masse mit Radius fracR und mfracM betrachtet werden. Betrachte nun folge Skizze: center tikzpicturescale pgftransformrotat filldrawcolorblack fillblack!!white circle .cm; filldrawcolorblack fillwhite -. circle .cm; %filldrawblack . circle .cm nodeabove mathcalP; filldrawblack circle .cm; filldrawblack . circle .cm; drawblue thick-latex --.; drawred thick-latex -.---.-.; tikzpicture center Die beiden Drehmomente mit blauem und rotem Pfeil angedeutet der schwarze Punkt markiert den Schwerpunkt müssen sich gegenseitig aufheben; man findet: M M x-mx+fracR Mx - fracM x+fracR x -fracx-fracR x fracR item Beim bf Trägheitsmoment gehen wir genau gleich vor wie beim Schwerpunkt: Wir betrachten das Schwungrad wieder als Scheibe M R mit Loch fracM fracR. Damit finden wir: J J_S - J_L frac MR^ - leftfracmfracR^ + underbracemfracR^_textSteinerright frac MR^ - leftfracfracMfracR^ + fracMfracR^right frac MR^ - fracMR^ fracMR^ itemize Nun können wir den Energiesatz anwen; dabei ist insbesondere die potentielle Energie glqq trickygrqq. Wie oben berechnet liegt der Schwerpunkt wenn die Scheibe wie in der Aufgabe gezeichnet steht fracR über dem Mittelpunkt. Wenn der Punkt mathcalP durch die tiefste Lage geht das Rad sich also um ang gedreht hat dann liegt der Schwerpunkt um fracR tiefer als der Mittelpunkt. Insgesamt hat der Schwerpunkt also die Höhe hfracR verloren. center tikzpicturescale filldrawcolorblack fillblack!!white circle .cm; filldrawcolorblack fillwhite -. circle .cm; filldrawblack . circle .cm nodeabove mathcalP; filldrawblack circle .cm; filldrawcolorblack fillblack!!white circle .cm; filldrawcolorblack fillwhite . circle .cm; filldrawblack -. circle .cm nodebelow mathcalP; filldrawblack circle .cm; tikzpicture center Eingesetzt im Energiesatz erhalten wir: Epot Erot fracMg h frac J omega^ fracMg fracR frac fracMR^ omega^ Mg R fracMR^ omega^ v sqrtfracgR