Exercise:
Es sollen Berechnungen an einem einfachen Planetensystem durchgeführt werden. Das System bestehe aus einem massereichen Zentralkörper Sonne und einem einzigen Planeten analog zur Erde. Wir betrachten den Zentralkörper als ruh. Der Planet bewege sich auf einer Kreisbahn. tabulartll Masse des Zentralkörpers Sonne: &M . ^text kg Masse des Planeten: &m . ^ text kg Abstand Sonne -- Planet &r_SP . ^text m quad von den Mittelpunkten aus gerechnet tabular abcliste abc Wie gross ist die Umlaufzeit des Planeten? abc Welche kinetische Energie weist der Planet auf? abc Welche Geschwindigkeit müsste ein Himmelskörper haben der sich im Abstand r_SP vom Zentralkörper befindet damit er sich unlich weit vom Zentralkörper wegbewegen kann? abc In welchem Abstand vom Mittelpunkt des Planeten heben sich die Gravitationskräfte des Zentralkörpers und des Planeten gerade auf? abcliste

Solution:
Gegeben: M ^textkg m ^textkg r_SP . ^textm abcliste item Gesucht: T Kepler III: edt dfraca^T^ dfracG Mpi^ quad Rightarrow quad T sqrtdfraca^ pi^G M sqrtdfrac. ^ textm^ pi^ . ^- textNtextm^ textkg^- ^ textkg ex sqrt . ^ fractextmtextN textkg^- . ^ texts .texta ed edt m r dfracpi^T^ G dfracm Mr^ ex T sqrtdfracpi^ r^G M ex T sqrtdfracpi^ big . ^big^ textm^. ^- textNtextm^ textkg^- ^ textkg approx . ^texts approx .textd approx ul.texta ed abc Gesucht: E_k Kepler II: Spezialfall: kreisförmige Bahn frac r_SP v dfracpi r_sp^T quad Rightarrow quad v dfracpi r_SPT quad Rightarrow quad v dfracpi . ^ textm. ^ texts textmtexts^- medskip Kinetische Energie: E_textk frac m v^ quad v dfrac pi rT dfracpi . ^textm. ^texts approx textmtexts^- bigskip E_textk frac ^ textkg ^ textm^ texts^- ul._ ^ textJ abc Gesucht: v_infty edt frac m v_infty^ G dfracM mr_SP ex v_infty sqrtdfracG Mr_SP sqrtdfrac . ^- textNtextm^ textkg^- ^ textkg. ^ textm ul._ textkm texts^- ed abc Gesucht: x edt F_textGr F_textGr ex G dfracM m_textTestr_SP - x^ G dfracm m_textTestx^ ex dfracMr_SP -x^ dfracmx^ ex dfracx^r_SP- x^ dfracmM ex dfracxr_SP- x sqrtdfracmM ex xleftsqrtdfracmM + right r_SP sqrtdfracmM ex x r_SP sqrtdfracmM leftsqrtdfracmM + right^- ex x . ^ textm dfracsqrtdfrac ^ ^ underbracesqrtdfrac ^ ^_. + ul._ ^textm ed Quadr.~Gleichung ax^ + bx + c mit a %. ^ b-. ^- und c-. ^- Lösung: x . ^textm footnotesize Bei der zweiten Lösung x_ . ^ textm handelt es sich um den Abstand eines Punktes auf der dem Zentralkörper diametral entgegengesetzten Seite des Planeten. abcliste