Exercise:
Sei U subseteq mathbbR^n ein Gebiet und f:U rightarrow mathbbR^n ein stetiges Vektorfeld. Dann ist f genau dann konservativ wenn es eine stetig differenzierbare Funktion F:U rightarrow mathbbR mit fxnabla Fx für alle x in U gibt. Des Weiteren gelten für ein stetig diffbares konservatives Vektorfeld f und deren Komponenten f_...f_n die partiellen Differentialgleichungen partial_jf_kpartial_kf_j für alle jk in ...n. Die differenzierbare Funktion F in obigem Satz übernimmt die Rolle der Stammfunktion im Fundamentalsatz der Integral- und Differentialrechnung und wird auch das zum Vektorfeld f assoziierte Potential genannt. Diese Funktion existiert aber nicht für alle sondern nur für gewisse eben konservative Vektorfelder.

Solution:
Beweis. Angenommen es gibt eine diffbare Funktion F:U rightarrow mathbbR mit fxnabla Fx für alle x in U. Sei gamma : abrightarrow U ein stetig diffbarerer Weg. Dann ist für t in ab also fgammatnabla FgammattextD_gammatF^t und somit nach der Kettenregel _gamma f dds _a^b langle fgamma tgamma'trangle ddt _a^b textD_gammatFgamma'tddt_a^b F circ gamma'tddt Fgammab-Fgammaa. Falls gamma bloss stückweise stetig differenzierbar ist und zeta as_ s_ ... s_Kb eine erlaubte Zerlegung von ab ist so kann man obige Rechnung auf die Teilervalle s_k-s_k anwen. Dies führt zu einer Teleskopme _gamma f dds _k^K _gamma|_s_k-s_kf dds _k^K Fgammas_k-Fgammas_k-Fgammab-Fgammaa Daher ist f konservativ. Sei nun f konservativ und x_ in U ein fester Punkt. Da U zusammenhäng ist gibt es zu jedem x in U einen stückweise stetig diffbaren Weg gamma_x in U mit Anfangspunkt x_ und Endpunkt x. Man betrachtet die Funktion F:x in U mapsto _gamma_xf dds welche nicht vom gewählten Weg gamma_x abhängt da f konservativ ist. Sei nun x in U k in ...n und h in mathbbRbackslash klein genug so dass x+the_k in U für alle t in . Man kann dann mit Hilfe eines Weges gamma_x : abrightarrow U von x_ nach x einen Weg gamma_x+he_k von x_ nach x+he_k durch t in ab+mapsto gamma_x+he_kt cases gamma_xtquad textfalls t in ab x+t-bhe_k textfalls t in bb+cases definieren. Für die partielle Ableitung partial_kF von F ergibt sich dadurch partial_kFxlim limits_h rightarrow fracFx+he_k-Fxhlim limits_hrightarrow frachleft _gamma_x+he_kf dds-_gamma_xf ddsright lim limits_hrightarrow frach _b^b+ langle fx+t-bhe_khe_krangle ddt lim limits_h rightarrow _^ f_kx+she_kdds f_kx auf Grund von Satz . und der Stetigkeit von f_k. Da dies für alle x in U und k in ...n gilt und f_...f_n per Annahme stetig sind folgt aus Satz . dass die totale Ableitung von F überall existiert und nabla Fxfx für alle x in U gilt. Sei nun f konservativ und stetig diffbar. Dann existiert nach obigem eine Funktion F mit nabla F f. Für jk in ...n gilt dann partial_jf_k partial_jpartial_kF partial_kpartial_jF partial_kf_j nach dem Satz von Schwarz Satz ..