Exercise:
Sei r ein Radius und seien x_in mathbbR^n y_in mathbbR^m Punkte. Man betrachtet die offene Teilmenge B_r^mathbbR^nx_times B_r^mathbbR^my_xyin mathbbR^ntimes mathbbR^m| ||x-x_||_ r textund ||y-y_||_ r von mathbbR^ntimes mathbbR^m. Sei F:B_r^mathbbR^nx_times B_r^mathbbR^my_rightarrow mathbbR^m eine stetige Funktion die die folgen drei Bedingungen erfüllt: itemize item Fx_y_. item Die partiellen Ableitungen partial_y_kF:B_r^mathbbR^nx_timesB_r^mathbbR^my_rightarrow mathbbR^m existieren für alle kin ...m und sind auf B_r^mathbbR^nx_timesB_r^mathbbR^my_ stetig. item Die totale Ableitung A bei y_ der Abbildung yin B_r^mathbbR^my_mapsto Fx_y ist invertierbar das heisst die Matrix Apartial_y_kF_jx_y__jkin textMat_mmmathbbR hat nicht-verschwinde Determinante. itemize Dann existiert ein offener Ball U_B_alphax_ um x_ und ein offener Ball V_B_betay_ um y_ mit alpha beta in r und eine stetige Funktion f:U_rightarrow V_ so dass für alle xyin U_times V_ die Gleichung Fxy genau dann gilt wenn yfx gilt. Insbesondere ist fx_y_.

Solution:
Beweis. Da man zu einem jeweils fest gewählten x ein y mit Fxy suchen will wird die Notation F_xyFxy für xyin B_r^mathbbR^nx_times B_r^mathbbR^my_ nützlich sein. Man verwet diese bereits um für ein festes xin B_rx_ die Hilfsfunktion T_x:yin B_ry_mapsto y-A^-F_xyin mathbbR^m zu definieren. Diese entspricht gerade der Iterationsvorschrift im Newton-Verfahren wobei man allerdings die Ableitung von F_x bei y schlicht durch AtextD_y_F_x_ ersetzt hat. Trotz dieser Änderungen bemerkt man dass für xyin B_rx_times B_ry_ die Gleichung Fxy zur Fixpunktgleichung T_xyy äquivalent ist. bf Die Abbildung T_x als Lipschitz-Kontraktion: Sei xin B_rx_. Nach Annahme und Satz . ist F_x auf B_ry_ eine stetig differenzierbare Funktion womit nach der Kettenregel T_x ebenso stetig differenzierbar ist mit Ableitung textD_yT_xI_m-A^-textD_yF_xA^-A-textD_yF_x für yin B_ry_ wobei I_min textMat_mmmathbbR die Identitätsmatrix bezeichnet. Für xx_ und yy_ ergibt sich damit textD_y_T_x_A^-A-textD_y_F_x_. Auf Grund der angenommenen Stetigkeit von xyin B_rx_times B_ry_mapsto textD_yF_x existiert also ein deltain r so dass für alle xyin B_rx_times B_ry_ die Abschätzung ||textD_yT_x||_textopleq frac gilt. Man zeigt dass dies die Lipschitz-Kontraktionseigenschaft impliziert. In der Tat folgt für xin B_deltax_ und y_y_in B_deltay_ mit Hilfe des geraden Weges gamma:Tin mapsto -ty_+ty_ von y_ nach y_ mit Ableitung y_-y_ ||T_xy_-T_xy_||||T_xcircgamma-T_xcircgamma||left||_^ T_xcircgamma'tddtright|| &leq _^ ||textD_gammatT_xy_-y_||ddt &leq _^ ||textD_gammatT_x||_op||y_-y_||ddt &leq frac||y_-y_||. Sei nun betafracdelta V_B_betay_ und YoverlineB_betay_. Man erhält also dass für jedes fest gewählte xin B_deltax_ die eingeschränkte Abbildung wieder mit T_x bezeichnet T_x:Yrightarrow mathbbR^m ymapsto T_xyy-A^-F_xy die eine Lipschitz-Kontraktion mit Lipschitz-Konstante frac ist. Um den Banachschen Fixpunktsatz anwen zu können muss man noch T_xYsubseteq Y zeigen. bf Eine Selbstabbildung: Nach Stetigkeit von F und wegen Fx_y_ existiert ein alpha in delta so dass für alle xin overlineB_alphax_ die Abschätzung ||T_xy_-y_||||A^-Fxy_|| fracbeta gilt. Falls nun xin overlineB_alphax_ und yin YoverlineB_betay_ sind dann folgt ||T_xy-y_||||T_xy-T_xy_+T_xy_-y_|| &leq ||T_xy-T_xy_||+||T_xy_-y_|| &leq frac||y-y_||+fracbeta &leq fracbeta & beta. Für xin overlineB_alphax_ und den oben definierten und nach Proposition . vollständigen metrischen Raum YoverlineB_betay_ gilt daher T_xYsubseteq Y. Aus dem Banachschen Fixpunktsatz Satz . folgt dass es einen eindeutig bestimmten Punkt yin Y mit T_xyy gibt. Auf Grund von Obigem gilt des Weiteren ||y-y_|| beta. bf Definition der Lösungsfunktion: Zusammenfass hat man also gezeigt dass es für jedes xin overlineB_alphax_ ein eindeutig bestimmtes yyxin overlineB_betay_ mit Fxy gibt welches zusätzlich auch yin overlineB_betay_ erfüllt. Dies definiert somit eine Funktion f:overlineB_alphax_rightarrow B_betay_ mit der Eigenschaft Fxfx für alle xin overlineB_alphax_. bf Stetigkeit der Lösungsfunktion: Um die Stetigkeit von f zu zeigen wiederholt man obiges Argument für alle xin overlineB_alphax_ gleichzeitig. Man betrachtet dazu die Teilmenge tildeYleftg:overlineB_alphax_rightarrow Y | gquad textist stetigrightsubseteq CoverlineB_alphax_ mathbbR^m. Nach Satz . ist CoverlineB_alphax_ mathbbR^m ausgestattet mit der Supremumsnorm ||g||_inftytextsup_xin overlineB_alphax_||gx|| ein vollständiger metrischer Raum. Da Y abgeschlossen ist folgt des Weiteren dass tildeY als abgeschlossene Teilmenge ebenso vollständig ist. Zu einer Funktion gin tildeY definiert man nun die Funktion tildeTg:xin overlineB_alphax_mapsto T_xgxgx-A^-Fxgx welche auf Grund der Stetigkeit von gin tildeY und F wiederum stetig ist. Für gin tildeY gilt nach Definition ||gx-y_||leq beta für alle xin overlineB_alphax_ und somit gilt auf Grund von Obigem auch ||tildeTgx-y_|| beta für alle xin overlineB_alphax_ wodurch tildeTg ebenso in tildeY liegt. Schlusslich gilt für g_ g_in tildeY und xin overlineB_alphax_. ||tildeTg_-tildeTg_x||||tildeTg_x-tildeTg_x||leq frac||g_x-g_x||leq frac||g_-g_||_infty da T_x Lipschitz-stetig ist mit Lipschitz-Konstante frac. Dies zeigt dass tildeT:tildeYrightarrow tildeY eine Lipschitz-Kontraktion auf einem vollständigen metrischen Raum darstellt und damit nach dem Banachschen Fixpunktsatz einen eindeutig bestimmten Fixpunkt besitzt. Sei ytildeTy dieser Fixpunkt. Dann ist y stetig und für alle xin overlineB_alphax_ gilt yxtildeTyxT_xyxin overlineB_betay_ sein muss.