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https://texercises.com/exercise/stetigkeit-bei-einem-punkt/
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Exercise:
Seien X und Y zwei metrische Räume f:Xrightarrow Y eine Funktion und x_ in X ein Punkt. Dann ist f genau dann bei x_ epsilon-delta-stetig wenn f bei x_ folgenstetig ist.

Solution:
Beweis. Angenommen f ist bei x_ epsilon-delta-stetig. Sei x_n_n eine Folge in X mit Grenzwert x_ in X und sei epsilon . Dann existiert ein delta s.d. fxin B_epsilonfx_ für alle x in B_deltax_. Da x_n_n gegen x_ konvergiert existiert ein N in mathbbN mit x_n in B_deltax_ für alle n geq N. Insbesondere gilt für ngeq N also fx_n in B_epsilonfx_. Da epsilon beliebig war gilt somit lim limits_n rightarrow infty fx_nfx_ und f ist bei x_ folgenstetig wie gewünscht. Angenommen f ist bei x_ nicht epsilon-delta-stetig. Dann existiert ein epsilon s.d. es für jedes delta ein x in B_deltax_ gibt mit fxnotin B_epsilonfx_. Wähle nun für jedes n in mathbbN und delta fracn ein solches x_n in B_fracnx_. Die Folge konvergiert somit gegen x_ und es gilt fxnotin B_epsilonfx_ für alle n in mathbbN. Insbesondere konvergiert fx_n_n nicht gegen fx_ und f ist nicht folgenstetig.
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Exercise:
Seien X und Y zwei metrische Räume f:Xrightarrow Y eine Funktion und x_ in X ein Punkt. Dann ist f genau dann bei x_ epsilon-delta-stetig wenn f bei x_ folgenstetig ist.

Solution:
Beweis. Angenommen f ist bei x_ epsilon-delta-stetig. Sei x_n_n eine Folge in X mit Grenzwert x_ in X und sei epsilon . Dann existiert ein delta s.d. fxin B_epsilonfx_ für alle x in B_deltax_. Da x_n_n gegen x_ konvergiert existiert ein N in mathbbN mit x_n in B_deltax_ für alle n geq N. Insbesondere gilt für ngeq N also fx_n in B_epsilonfx_. Da epsilon beliebig war gilt somit lim limits_n rightarrow infty fx_nfx_ und f ist bei x_ folgenstetig wie gewünscht. Angenommen f ist bei x_ nicht epsilon-delta-stetig. Dann existiert ein epsilon s.d. es für jedes delta ein x in B_deltax_ gibt mit fxnotin B_epsilonfx_. Wähle nun für jedes n in mathbbN und delta fracn ein solches x_n in B_fracnx_. Die Folge konvergiert somit gegen x_ und es gilt fxnotin B_epsilonfx_ für alle n in mathbbN. Insbesondere konvergiert fx_n_n nicht gegen fx_ und f ist nicht folgenstetig.
Contained in these collections:

Attributes & Decorations
Tags
analysis i, beweis, eth, folgenstetig, hs22, proof
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Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Creator rk
Decoration
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