Stetigkeit bei einem Punkt
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
Solution
Short
Video
\(\LaTeX\)
No explanation / solution video to this exercise has yet been created.
Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Exercise:
Seien X und Y zwei metrische Räume f:Xrightarrow Y eine Funktion und x_ in X ein Punkt. Dann ist f genau dann bei x_ epsilon-delta-stetig wenn f bei x_ folgenstetig ist.
Solution:
Beweis. Angenommen f ist bei x_ epsilon-delta-stetig. Sei x_n_n eine Folge in X mit Grenzwert x_ in X und sei epsilon . Dann existiert ein delta s.d. fxin B_epsilonfx_ für alle x in B_deltax_. Da x_n_n gegen x_ konvergiert existiert ein N in mathbbN mit x_n in B_deltax_ für alle n geq N. Insbesondere gilt für ngeq N also fx_n in B_epsilonfx_. Da epsilon beliebig war gilt somit lim limits_n rightarrow infty fx_nfx_ und f ist bei x_ folgenstetig wie gewünscht. Angenommen f ist bei x_ nicht epsilon-delta-stetig. Dann existiert ein epsilon s.d. es für jedes delta ein x in B_deltax_ gibt mit fxnotin B_epsilonfx_. Wähle nun für jedes n in mathbbN und delta fracn ein solches x_n in B_fracnx_. Die Folge konvergiert somit gegen x_ und es gilt fxnotin B_epsilonfx_ für alle n in mathbbN. Insbesondere konvergiert fx_n_n nicht gegen fx_ und f ist nicht folgenstetig.
Seien X und Y zwei metrische Räume f:Xrightarrow Y eine Funktion und x_ in X ein Punkt. Dann ist f genau dann bei x_ epsilon-delta-stetig wenn f bei x_ folgenstetig ist.
Solution:
Beweis. Angenommen f ist bei x_ epsilon-delta-stetig. Sei x_n_n eine Folge in X mit Grenzwert x_ in X und sei epsilon . Dann existiert ein delta s.d. fxin B_epsilonfx_ für alle x in B_deltax_. Da x_n_n gegen x_ konvergiert existiert ein N in mathbbN mit x_n in B_deltax_ für alle n geq N. Insbesondere gilt für ngeq N also fx_n in B_epsilonfx_. Da epsilon beliebig war gilt somit lim limits_n rightarrow infty fx_nfx_ und f ist bei x_ folgenstetig wie gewünscht. Angenommen f ist bei x_ nicht epsilon-delta-stetig. Dann existiert ein epsilon s.d. es für jedes delta ein x in B_deltax_ gibt mit fxnotin B_epsilonfx_. Wähle nun für jedes n in mathbbN und delta fracn ein solches x_n in B_fracnx_. Die Folge konvergiert somit gegen x_ und es gilt fxnotin B_epsilonfx_ für alle n in mathbbN. Insbesondere konvergiert fx_n_n nicht gegen fx_ und f ist nicht folgenstetig.
Meta Information
Exercise:
Seien X und Y zwei metrische Räume f:Xrightarrow Y eine Funktion und x_ in X ein Punkt. Dann ist f genau dann bei x_ epsilon-delta-stetig wenn f bei x_ folgenstetig ist.
Solution:
Beweis. Angenommen f ist bei x_ epsilon-delta-stetig. Sei x_n_n eine Folge in X mit Grenzwert x_ in X und sei epsilon . Dann existiert ein delta s.d. fxin B_epsilonfx_ für alle x in B_deltax_. Da x_n_n gegen x_ konvergiert existiert ein N in mathbbN mit x_n in B_deltax_ für alle n geq N. Insbesondere gilt für ngeq N also fx_n in B_epsilonfx_. Da epsilon beliebig war gilt somit lim limits_n rightarrow infty fx_nfx_ und f ist bei x_ folgenstetig wie gewünscht. Angenommen f ist bei x_ nicht epsilon-delta-stetig. Dann existiert ein epsilon s.d. es für jedes delta ein x in B_deltax_ gibt mit fxnotin B_epsilonfx_. Wähle nun für jedes n in mathbbN und delta fracn ein solches x_n in B_fracnx_. Die Folge konvergiert somit gegen x_ und es gilt fxnotin B_epsilonfx_ für alle n in mathbbN. Insbesondere konvergiert fx_n_n nicht gegen fx_ und f ist nicht folgenstetig.
Seien X und Y zwei metrische Räume f:Xrightarrow Y eine Funktion und x_ in X ein Punkt. Dann ist f genau dann bei x_ epsilon-delta-stetig wenn f bei x_ folgenstetig ist.
Solution:
Beweis. Angenommen f ist bei x_ epsilon-delta-stetig. Sei x_n_n eine Folge in X mit Grenzwert x_ in X und sei epsilon . Dann existiert ein delta s.d. fxin B_epsilonfx_ für alle x in B_deltax_. Da x_n_n gegen x_ konvergiert existiert ein N in mathbbN mit x_n in B_deltax_ für alle n geq N. Insbesondere gilt für ngeq N also fx_n in B_epsilonfx_. Da epsilon beliebig war gilt somit lim limits_n rightarrow infty fx_nfx_ und f ist bei x_ folgenstetig wie gewünscht. Angenommen f ist bei x_ nicht epsilon-delta-stetig. Dann existiert ein epsilon s.d. es für jedes delta ein x in B_deltax_ gibt mit fxnotin B_epsilonfx_. Wähle nun für jedes n in mathbbN und delta fracn ein solches x_n in B_fracnx_. Die Folge konvergiert somit gegen x_ und es gilt fxnotin B_epsilonfx_ für alle n in mathbbN. Insbesondere konvergiert fx_n_n nicht gegen fx_ und f ist nicht folgenstetig.
Contained in these collections: