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https://texercises.com/exercise/stetigkeit-und-mehrdimensionale-riemann-integrale/
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Exercise:
Sei Q ein abgeschlossener Quader mit nicht-leerem Inneren. Dann ist jede stetige Funktion f:Qrightarrow mathbbR auch R-bar.

Solution:
Beweis. Nach dem Satz von HeinBorel Satz . sind abgeschlossene Quader kompakt sie sind abgeschlossen und beschränkt. Nach Proposition . ist die stetige Funktion f auf Q damit sogar gleichmässig stetig. Sei epsilon . Dann existiert also ein delta so dass für alle x_x_in Q gilt ||x_-x_||_infty delta Longrightarrow |fx_-fx_| epsilon. Sei nun zeta eine Zerlegung von Q mit Maschenweite kleiner als delta. Dann gilt Ofzeta-Ufzeta_Q_alphasqsubset zetatextsupfQ_alpha-textinffQ_alphatextvolQ_alpha &leq _Q_alphasqsubset zetaepsilontextvolQ_alpha epsilon textvolQ da textsupfQ_alpha-textinffQ_alphaleq epsilon für alle Q_alphasqsubset zeta wegen Obigem. Aus Proposition . folgt nun dass f R-bar ist.
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Exercise:
Sei Q ein abgeschlossener Quader mit nicht-leerem Inneren. Dann ist jede stetige Funktion f:Qrightarrow mathbbR auch R-bar.

Solution:
Beweis. Nach dem Satz von HeinBorel Satz . sind abgeschlossene Quader kompakt sie sind abgeschlossen und beschränkt. Nach Proposition . ist die stetige Funktion f auf Q damit sogar gleichmässig stetig. Sei epsilon . Dann existiert also ein delta so dass für alle x_x_in Q gilt ||x_-x_||_infty delta Longrightarrow |fx_-fx_| epsilon. Sei nun zeta eine Zerlegung von Q mit Maschenweite kleiner als delta. Dann gilt Ofzeta-Ufzeta_Q_alphasqsubset zetatextsupfQ_alpha-textinffQ_alphatextvolQ_alpha &leq _Q_alphasqsubset zetaepsilontextvolQ_alpha epsilon textvolQ da textsupfQ_alpha-textinffQ_alphaleq epsilon für alle Q_alphasqsubset zeta wegen Obigem. Aus Proposition . folgt nun dass f R-bar ist.
Contained in these collections:

Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, fs23, integralrechnung, stetigkeit
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Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Creator rk
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