Exercise:
Zeigen Sie: Sei D subseteq mathbbR. Falls f_f_:Drightarrow mathbbR Funktionen sind die bei einem Punkt x_ in D stetig sind dann sind auch f_+f_ f_ f_ und af_ für a in mathbbR stetig bei x_. Insbesondere bildet die Menge der stetigen Funktionen CD f in mathcalFD | f textist stetig einen Unterraum des Vektorraums mathcalFD.

Solution:
Beweis. Angenommen f_f_ in mathcalFD sind bei x_ in D stetig und sei epsilon . Dann existieren delta_ delta_ s.d. für alle x in D gilt |x-x_| delta_ Longrightarrow |f_x-f_x_| fracepsilon |x-x_| delta_ Longrightarrow |f_x-f_x_| fracepsilon Man setze delta textmindelta_ delta_ und erhält |x-x_| delta &Longrightarrow |f_+f_x-f_+f_x_| &leq |f_x-f_x_|+|f_x-f_x_| & fracepsilon+fracepsilon epsilon Da epsilon beliebig erhält man dass f_+f_ bei x_ in D stetig ist. Argument für f_f_ ähnlich man nt mit der Abschätzung |f_xf_x-f_x_f_x_| |f_xf_x-f_x_f_x+f_x_f_x-f_x_f_x_| &leq |f_xf_x-f_x_f_x|+|f_x_f_x-f_x_f_x_| |f_xf_x_||f_x|+|f_x_||f_xf_x_| für x in D unter Verwung der Dreiecksungleichung. Sei epsilon und wähle delta_ und delta_ s.d. für x in D |x-x_| delta_ Longrightarrow |f_x-f_x_| fracepsilon|f_x_+| |x-x_| delta_ Longrightarrow |f_x-f_x_| textminleft fracepsilon|f_x_+|right erfüllt sind. Dann gilt für ein x in D mit |x-x_| delta textmindelta_ delta_ dass |f_x||f_x-f_x_+f_x_| leq |f_x-f_x_|+|f_x_| + |f_x_| und damit |f_x-f_x_||f_x| fracepsilon|f_x_+|+|f_x_| fracepsilon Für das zweite Argument gilt ebenso |f_x_||f_x-f_x_| leq |f_x_|fracepsilon|f_x_+| fracepsilon Gemeinsam erhält man |f_xf_x-f_x_f_x_| epsilon wie gefordert. Die Aussage über af_ für a in mathbbR folgt mit Obigem und der Tatsache dass die konstante Funktion x in mathbbR mapsto a in mathbbR stetig ist. Insbesondere ist CD auch nicht leer da die konstante Nullfunktion in CD liegt und somit ist CD ein Unterraum von mathcalFD.