Supremum mit Multiplikation
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Exercise:
Seien XY subseteq mathbbR nicht leere von oben beschränkte Teilmengen mit der Eigenschaft x geq für alle x in X und y geq für alle y in Y. Zeigen Sie dass XY : xy| x in X y in Y von oben beschränkt ist und dass textsupXY textsupXtextsupY gilt. Geben Sie ein Beispiel von nicht-leeren und von oben beschränkten Teilmengen AB subseteq mathbbR so dass textsupAB neq textsupAtextsupB.
Solution:
Beweis. Man beweist zuerst dass textsupXtextsupY leq textsupXY: Sei epsilon beliebig. Dann gibt es x in X und y in Y so dass textsupX leq x+epsilon und textsupYleq y+epsilon ist. Weil x geq und y geq sind ist auch textsupX geq x geq und textsupY geq y geq . Für das Produkt gilt dann textsupXtextsupY leq x+epsilony+epsilon xy + epsilonx+y+epsilon^ Aus der Definition von XY folgt xy leq textsupXY und darum textsupXtextsupY leq textsupXY+epsilontextsupX+textsupY+epsilon^ Da diese Ungleichung für alle epsilon erfüllt ist folgt textsupXtextsupY leq textsupXY Ähnlich beweist man dass textsupXY leq textsupXtextsupY: Sei epsilon beliebig. Dann gibt es z in XY s.d. textsupXY leq z+ epsilon. Aus der Definition von XY existiert ein x in X y in Y mit zxy. Man erhält damit textsupXY leq textsupXtextsupY+epsilon Da diese Ungleichung für alle epsilon erfüllt ist folgt dass textsupXY leq textsupXtextsupY Wenn X oder Y unbeschränkt ist verwet man infty und infty ainfty für alle a oder a infty
Seien XY subseteq mathbbR nicht leere von oben beschränkte Teilmengen mit der Eigenschaft x geq für alle x in X und y geq für alle y in Y. Zeigen Sie dass XY : xy| x in X y in Y von oben beschränkt ist und dass textsupXY textsupXtextsupY gilt. Geben Sie ein Beispiel von nicht-leeren und von oben beschränkten Teilmengen AB subseteq mathbbR so dass textsupAB neq textsupAtextsupB.
Solution:
Beweis. Man beweist zuerst dass textsupXtextsupY leq textsupXY: Sei epsilon beliebig. Dann gibt es x in X und y in Y so dass textsupX leq x+epsilon und textsupYleq y+epsilon ist. Weil x geq und y geq sind ist auch textsupX geq x geq und textsupY geq y geq . Für das Produkt gilt dann textsupXtextsupY leq x+epsilony+epsilon xy + epsilonx+y+epsilon^ Aus der Definition von XY folgt xy leq textsupXY und darum textsupXtextsupY leq textsupXY+epsilontextsupX+textsupY+epsilon^ Da diese Ungleichung für alle epsilon erfüllt ist folgt textsupXtextsupY leq textsupXY Ähnlich beweist man dass textsupXY leq textsupXtextsupY: Sei epsilon beliebig. Dann gibt es z in XY s.d. textsupXY leq z+ epsilon. Aus der Definition von XY existiert ein x in X y in Y mit zxy. Man erhält damit textsupXY leq textsupXtextsupY+epsilon Da diese Ungleichung für alle epsilon erfüllt ist folgt dass textsupXY leq textsupXtextsupY Wenn X oder Y unbeschränkt ist verwet man infty und infty ainfty für alle a oder a infty