Exercise #18361
https://texercises.com/exercise/supremum-von-abgeschlossenen-und-offenen-teilmengen-in-r/
Question
Solution
Short
Video
\(\LaTeX\)
No explanation / solution video to this exercise has yet been created.

Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Exercise:
Für eine abgeschlossene nicht-leere von oben beschränkte Teilmenge Asubseteq mathbbR gilt textsupAtextmaxAin A. Für eine offene nicht-leere von oben beschränkte Teilmenge Oin mathbbR gilt textsupOin O. Dies gilt analog für von unten beschränkte Teilmengen und das Infimum.

Solution:
Beweis. Für jedes nin mathbbN existiert nach Satz . ein x_nin A mit textsupA-fracn x_n leq textsupA. Daraus folgt lim limits_nrightarrow inftyx_n textsupA. und mit Lemma . dass textsupAtextmaxAinA. Falls textsupOin O wäre so gäbe es ein epsilon mit B_epsilontextsupOsubseteq O. Insbesondere gilt aber damit textsupO+fracepsilonin O und dies widerpsricht der Definition des Supremums. Daher muss textsupOnotin O gelten.
Meta Information
\(\LaTeX\)-Code
Exercise:
Für eine abgeschlossene nicht-leere von oben beschränkte Teilmenge Asubseteq mathbbR gilt textsupAtextmaxAin A. Für eine offene nicht-leere von oben beschränkte Teilmenge Oin mathbbR gilt textsupOin O. Dies gilt analog für von unten beschränkte Teilmengen und das Infimum.

Solution:
Beweis. Für jedes nin mathbbN existiert nach Satz . ein x_nin A mit textsupA-fracn x_n leq textsupA. Daraus folgt lim limits_nrightarrow inftyx_n textsupA. und mit Lemma . dass textsupAtextmaxAinA. Falls textsupOin O wäre so gäbe es ein epsilon mit B_epsilontextsupOsubseteq O. Insbesondere gilt aber damit textsupO+fracepsilonin O und dies widerpsricht der Definition des Supremums. Daher muss textsupOnotin O gelten.
Contained in these collections:

Attributes & Decorations
Tags
abgeschlossen, analysis, beweis, eth, fs23, maximum, offen, proof, supremum, topologie
Content image
Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Creator rk
Decoration
File
Link