Exercise:
footnotehttps://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function La funzione W di Lambert è definita come la funzione inversa della funzione fxxe^x. abclist abc Dimostra che la retta dei numeri reali può essere divisa in due da left-inftycright e leftcinftyright così che sulla parte sinistra è decrescente sulla parte destra crescente e che dunque ammette due pseudo inverse W_ e W_- su i rispettivi domini. Determina in particolare in minimo di xe^x e da questo dominio e insieme delle immagini delle inverse. abclist Sfruttando la funzione W di Lambert è possibile risolvere diverse equazioni. L'idea è quella di riportare il tutto nella forma textBox e^textBox textconst così da riuscire poi ad applicare la funzione W e ottenere textBox Wtextconst dove textBoxfx è una qualunque funzione che dipe da x. abclist abc Risolvi lnxc x abc Risolvi ^xx+ abc labelpartec Risolvi xa+b e^cx abc Se una reazione chimica coinvolge reagenti e prodotti che hanno capacità termica costanti in funzione della temperatura allora la costante di equilibrio L soddisfa lnKfracaT+b+clnT dove abc sono delle costanti e T è la temperatura. Determina T in funzione di K. abc Sfruttando la parte refpartec risolvi in modo esatto il problema di II Liceo: ``Supponi di disporre di un capitale di ' franchi e di essere confrontato con due offerte: una banca ti offre un eresse semplice del % una seconda banca ti offre un eresse composto del .%. Dopo quanti anni le offerte saranno equivalenti?'' abc Risolvi l'equazione xx^m+q. abc a^xbx^c abc x^xz abc lnxcx^a abclist E da ultimo abclist abc Determinare la serie di Taylor sfruttando il teorema di inversione di Lagrange. abc Risolvere l'equazione approssimativa abc Identità legate alla funzione W abclist

Solution:
abclist abc Abbiamo che f'xxe^x+e^xx+e^x dunque la derivata è negativa per x- e positiva per x- dunque c-. Quindi il minimo della funzione è -frace. Il limiti sono rispettivamente * lim_xto inftyxe^x+infty lim_xto -inftyxe^x * e dunque avremo due inverse * W_: &leftfrac-e+inftyrightto left-+inftyright W_-: &leftfrac-erightto left-infty-right. * abc * lnxcx xe^cx xe^-cx -cxe^-cx-c -cxW-c x-fraccW-c * abc * xa+b e^cx x-ae^-cxb -cx+ace^-cx-bc -cx+ace^-cx+ac-bce^ac -cx+acW-bce^ac xa-fraccW-bce^ac * abc In modo analogo ma più complesso della precedente otteniamo * lnKfracaT+b+clnT -ab-ln KT+cTln T -ab-ln Ke^L+cLe^L & L:lnTpt -fracacleftfracb-ln Kc+Lrighte^Lpt -fracace^fracb-ln KcleftL+fracb-ln Kcrighte^L+fracb-ln Kcpt LWleft-fracace^fracb-ln Kcright+fracln K-bc & Te^Lpt TexpleftWleft-fracace^fracb-ln Kcright+fracln K-bcright. * abc Risolvi l'equazione xx^m+q. abc * a^x b x^c &a text e neq b c neq a^x/c b^/c x fracb^/c xa^x/c b^/c x e^-x/c lna fracb^/c x e^-x/c lna -fraclnac b^/c -x/c lna e^-x/c lna Wleft-fraclnac b^/cright -x/c lna x -fracclna Wleft-fraclnac b^/cright * abc * x^xz x ln x ln z ln x e^ln x ln z ln x Wln z x e^Wln z. * abc * lnxcx^a lnxc e^alnx -alnx e^-alnx-ac -alnxW-ac xexp left-fracW-acaright * abc Lx^x^x^^^ * Lx^x^x^^^e^lnleftx^x^x^^^righte^x^x^x^^^ lnxe^L lnx * Dunque l'equazione diventa * Le^L lnx Le^-L lnx -Llnxe^-L lnx-lnx -Llnx W-lnx L-fracW-lnxlnx * abc L'equazione da risolvere è * num+ tnum+.%^t &iff +te^ln.%t &iff t-+e^ln.%t * dunque è della forma della refpartec con a-b e cln.%. Dunque la soluzione esatta è xa-fraccW-bce^ac-+fracln.%Wleft-ln.% .%^right abclist