Taylor-Approximation
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Exercise:
Sei ab subseteq mathbbR ein offenes nicht-leeres Intervall und sei f:abrightarrow mathbbC eine n+-mal stetig differenzierbare Funktion. Sei x_ in ab. Dann gilt für alle x in ab fx P^f_x_nx+R^f_x_nx wobei P^f_x_n die n-te Taylor-Approximation ist und man den Fehlerterm R^f_x_n durch das sogenannte Integral-Restglied x in ab mapsto R^f_x_nx _x_^x f^n+tfracx-t^nn! ddt darstellen kann. Dies gilt auch für Funktionen auf x_b und Punkte x in x_b bzw. ax_ und Punkte x in ax_. Annahme dass f eine n+-mal stetig differenzierbare Funktion ist ist essentiell! Dadurch ist f^n+eine stetige Funktion und das Integral der stetigen Funktion tmapsto fn+tfracx-t^nn! im Integral-Restglied existiert.
Solution:
Beweis. Das Theorem ergibt sich mit Induktion über n und partieller Integration gilt auch für komplexwertige Fkt. Ist n und f:abrightarrow mathbbR stetig diffbar so gilt nach dem Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung Korollar . fxfx_+_x_^x f't ddt P^f_x_nx+R^f_x_nx. Ist f nun zweimal stetig diffbar n so kann man auf obiges Integral partielle Integration mit utf't und vtt-x anwen und erhält fx fx_+f'tt-x^tx_tx_-_x_^x f''tt-x ddt fx_+f'x_x-x_+_x_^x f''tfract-x^! ddt P^f_x_x+R^f_x_x. Angenommen die Aussage des Satzes stimmt für n- geq und sei f:abrightarrow mathbbR eine n+-mal stetig diffbare Funktion. Dann gilt auf Grund der Induktionsvorraussetzung fx _k^n- fracf^kx_k!x-x_^k+_x_^x f^ntfracx-t^n-n-! ddt für alle x in ab. Setze utf^nt und ut-fracx-t^nn! bemerke v'tfracx-t^n-n-! und we partielle Integration an um fx _k^n- fracf^kx_k!x-x_^k - leftf^ntfracx-t^nn!right^tx_tx_+_x_^x f^n+tfracx-t^nn! ddt _k^n fracf^kx_k!x-x_^k+_x_^x f^n+tfracx-t^nn! ddt zu erhalten. Dies beweist den Induktionsschritt und damit den Satz.
Sei ab subseteq mathbbR ein offenes nicht-leeres Intervall und sei f:abrightarrow mathbbC eine n+-mal stetig differenzierbare Funktion. Sei x_ in ab. Dann gilt für alle x in ab fx P^f_x_nx+R^f_x_nx wobei P^f_x_n die n-te Taylor-Approximation ist und man den Fehlerterm R^f_x_n durch das sogenannte Integral-Restglied x in ab mapsto R^f_x_nx _x_^x f^n+tfracx-t^nn! ddt darstellen kann. Dies gilt auch für Funktionen auf x_b und Punkte x in x_b bzw. ax_ und Punkte x in ax_. Annahme dass f eine n+-mal stetig differenzierbare Funktion ist ist essentiell! Dadurch ist f^n+eine stetige Funktion und das Integral der stetigen Funktion tmapsto fn+tfracx-t^nn! im Integral-Restglied existiert.
Solution:
Beweis. Das Theorem ergibt sich mit Induktion über n und partieller Integration gilt auch für komplexwertige Fkt. Ist n und f:abrightarrow mathbbR stetig diffbar so gilt nach dem Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung Korollar . fxfx_+_x_^x f't ddt P^f_x_nx+R^f_x_nx. Ist f nun zweimal stetig diffbar n so kann man auf obiges Integral partielle Integration mit utf't und vtt-x anwen und erhält fx fx_+f'tt-x^tx_tx_-_x_^x f''tt-x ddt fx_+f'x_x-x_+_x_^x f''tfract-x^! ddt P^f_x_x+R^f_x_x. Angenommen die Aussage des Satzes stimmt für n- geq und sei f:abrightarrow mathbbR eine n+-mal stetig diffbare Funktion. Dann gilt auf Grund der Induktionsvorraussetzung fx _k^n- fracf^kx_k!x-x_^k+_x_^x f^ntfracx-t^n-n-! ddt für alle x in ab. Setze utf^nt und ut-fracx-t^nn! bemerke v'tfracx-t^n-n-! und we partielle Integration an um fx _k^n- fracf^kx_k!x-x_^k - leftf^ntfracx-t^nn!right^tx_tx_+_x_^x f^n+tfracx-t^nn! ddt _k^n fracf^kx_k!x-x_^k+_x_^x f^n+tfracx-t^nn! ddt zu erhalten. Dies beweist den Induktionsschritt und damit den Satz.