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Exercise:
footnoteRudin Es capitolo Sia f una funzione continua su leftinftyright e derivabile su leftinftyright tale che f e che f' sia monotona crescente. Dimostra che la funzione gxfracfxxquad x è anche monotona crescente.

Solution:
Siccome g è un prodotto di funzioni derivabili è essa stessa una funzione derivabile per x. Dunque per dimostrare che è monotona crescente mostriamo che g'x Abbiamo che g'xfracf'xx-fxx^ Siccome il denominatore è sempre positivo dobbiamo dunque dimostrare che f'xxfx. Per il teorema del valore medio sappiamo che sceglio a bx esiste cin leftxright così che f'cfracfx-fx-fracfxx e siccome f' è crescente abbiamo che f'cfx e quindi fracfxxf'x. Possiamo infine portare x a destra x otteno così la soluzione.
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footnoteRudin Es capitolo Sia f una funzione continua su leftinftyright e derivabile su leftinftyright tale che f e che f' sia monotona crescente. Dimostra che la funzione gxfracfxxquad x è anche monotona crescente.

Solution:
Siccome g è un prodotto di funzioni derivabili è essa stessa una funzione derivabile per x. Dunque per dimostrare che è monotona crescente mostriamo che g'x Abbiamo che g'xfracf'xx-fxx^ Siccome il denominatore è sempre positivo dobbiamo dunque dimostrare che f'xxfx. Per il teorema del valore medio sappiamo che sceglio a bx esiste cin leftxright così che f'cfracfx-fx-fracfxx e siccome f' è crescente abbiamo che f'cfx e quindi fracfxxf'x. Possiamo infine portare x a destra x otteno così la soluzione.
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Attributes & Decorations
Tags
Derivate, continuità e Taylor, Teorema di Lagrange
Difficulty
(5, default)
Points
0 (default)
Language
ITA (Italiano)
Type
Proof
Decoration
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