Exercise
https://texercises.com/exercise/teorema-di-weierstrass-2/
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Exercise:
textbfRadici infinite abclist abc Riconducentoti all'Esempio visto in classe dimostra formalmente ossia verifica la convergenza e poi calcola il limite che sqrt+sqrt+sqrt+sqrt+sqrts frac+sqrtvarphi il cosidetto rapporto aureo poni x_. abc Verifica ora che il passaggio di ricorsione qui definito può essere ricondotto al seguente disegno: center tikzpicturescale. tkzDefPos-//A //S //B/./BB //C //M tkzInterLCBBBMAtkzGetFirstPoR pgfresetboundingbox tkzDrawArcMCA tkzDrawSegmentsAC BR tkzLabelSegmentbelowASx_n- tkzLabelSegmentbelowSB tkzLabelSegmentbelowBC tkzLabelSegmentrightBRx_n tkzMarkRightAnglesize.fillblack!CBR tkzDrawPosABCRS tikzpicture center abclist

Solution:
abclist abc Pono la sequenza che parte con x_ abbiamo che il prossimo termine è determinato da x_nsqrt+x_n-. In modo del tutto simile a quanto visto nell'esempio verifichiamo che la sequenza è crescente e limitata da . Abbiamo che x_leq quadcheckmark e che se x_kleq per tutte le kleq n alllora x_nsqrt+x_n-leq sqrt+leq .quad checkmark Per dimostra che sia crescente verifichiamo che x_sqrtx_quadcheckmark e che se leq x_k-leq x_k per tutte le kleq n allora x_nsqrt+x_n-geq sqrt+x_n-x_n-quad checkmark in quanto la radice è crescente dunque la sequenza cresce. Per il teorema di Weierstrass la sequenza converge. Il suo limite soddisfainfine xsqrt+xiff x^-x-iff xfracpmsqrt e siccome deve essere positivo abbiamo lim_ntoinftyx_nfrac+sqrt. abc La costruzione con il semicerchio non è altro che una diretta applicazione del teorema delle altezze di Euclide: x_n-+ x_n^iff x_nsqrtx_n-+. abclist
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textbfRadici infinite abclist abc Riconducentoti all'Esempio visto in classe dimostra formalmente ossia verifica la convergenza e poi calcola il limite che sqrt+sqrt+sqrt+sqrt+sqrts frac+sqrtvarphi il cosidetto rapporto aureo poni x_. abc Verifica ora che il passaggio di ricorsione qui definito può essere ricondotto al seguente disegno: center tikzpicturescale. tkzDefPos-//A //S //B/./BB //C //M tkzInterLCBBBMAtkzGetFirstPoR pgfresetboundingbox tkzDrawArcMCA tkzDrawSegmentsAC BR tkzLabelSegmentbelowASx_n- tkzLabelSegmentbelowSB tkzLabelSegmentbelowBC tkzLabelSegmentrightBRx_n tkzMarkRightAnglesize.fillblack!CBR tkzDrawPosABCRS tikzpicture center abclist

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abclist abc Pono la sequenza che parte con x_ abbiamo che il prossimo termine è determinato da x_nsqrt+x_n-. In modo del tutto simile a quanto visto nell'esempio verifichiamo che la sequenza è crescente e limitata da . Abbiamo che x_leq quadcheckmark e che se x_kleq per tutte le kleq n alllora x_nsqrt+x_n-leq sqrt+leq .quad checkmark Per dimostra che sia crescente verifichiamo che x_sqrtx_quadcheckmark e che se leq x_k-leq x_k per tutte le kleq n allora x_nsqrt+x_n-geq sqrt+x_n-x_n-quad checkmark in quanto la radice è crescente dunque la sequenza cresce. Per il teorema di Weierstrass la sequenza converge. Il suo limite soddisfainfine xsqrt+xiff x^-x-iff xfracpmsqrt e siccome deve essere positivo abbiamo lim_ntoinftyx_nfrac+sqrt. abc La costruzione con il semicerchio non è altro che una diretta applicazione del teorema delle altezze di Euclide: x_n-+ x_n^iff x_nsqrtx_n-+. abclist

Attributes & Decorations
Tags
Successioni e serie, Teorema di Weierstrass
Difficulty
(1, default)
Points
0 (default)
Language
ITA (Italiano)
Type
Calculative / Quantity
Decoration
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