Teorema di Weierstrass 2
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
Solution
Short
Video
\(\LaTeX\)
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Exercise:
textbfRadici infinite abclist abc Riconducentoti all'Esempio visto in classe dimostra formalmente ossia verifica la convergenza e poi calcola il limite che sqrt+sqrt+sqrt+sqrt+sqrts frac+sqrtvarphi il cosidetto rapporto aureo poni x_. abc Verifica ora che il passaggio di ricorsione qui definito può essere ricondotto al seguente disegno: center tikzpicturescale. tkzDefPos-//A //S //B/./BB //C //M tkzInterLCBBBMAtkzGetFirstPoR pgfresetboundingbox tkzDrawArcMCA tkzDrawSegmentsAC BR tkzLabelSegmentbelowASx_n- tkzLabelSegmentbelowSB tkzLabelSegmentbelowBC tkzLabelSegmentrightBRx_n tkzMarkRightAnglesize.fillblack!CBR tkzDrawPosABCRS tikzpicture center abclist
Solution:
abclist abc Pono la sequenza che parte con x_ abbiamo che il prossimo termine è determinato da x_nsqrt+x_n-. In modo del tutto simile a quanto visto nell'esempio verifichiamo che la sequenza è crescente e limitata da . Abbiamo che x_leq quadcheckmark e che se x_kleq per tutte le kleq n alllora x_nsqrt+x_n-leq sqrt+leq .quad checkmark Per dimostra che sia crescente verifichiamo che x_sqrtx_quadcheckmark e che se leq x_k-leq x_k per tutte le kleq n allora x_nsqrt+x_n-geq sqrt+x_n-x_n-quad checkmark in quanto la radice è crescente dunque la sequenza cresce. Per il teorema di Weierstrass la sequenza converge. Il suo limite soddisfainfine xsqrt+xiff x^-x-iff xfracpmsqrt e siccome deve essere positivo abbiamo lim_ntoinftyx_nfrac+sqrt. abc La costruzione con il semicerchio non è altro che una diretta applicazione del teorema delle altezze di Euclide: x_n-+ x_n^iff x_nsqrtx_n-+. abclist
textbfRadici infinite abclist abc Riconducentoti all'Esempio visto in classe dimostra formalmente ossia verifica la convergenza e poi calcola il limite che sqrt+sqrt+sqrt+sqrt+sqrts frac+sqrtvarphi il cosidetto rapporto aureo poni x_. abc Verifica ora che il passaggio di ricorsione qui definito può essere ricondotto al seguente disegno: center tikzpicturescale. tkzDefPos-//A //S //B/./BB //C //M tkzInterLCBBBMAtkzGetFirstPoR pgfresetboundingbox tkzDrawArcMCA tkzDrawSegmentsAC BR tkzLabelSegmentbelowASx_n- tkzLabelSegmentbelowSB tkzLabelSegmentbelowBC tkzLabelSegmentrightBRx_n tkzMarkRightAnglesize.fillblack!CBR tkzDrawPosABCRS tikzpicture center abclist
Solution:
abclist abc Pono la sequenza che parte con x_ abbiamo che il prossimo termine è determinato da x_nsqrt+x_n-. In modo del tutto simile a quanto visto nell'esempio verifichiamo che la sequenza è crescente e limitata da . Abbiamo che x_leq quadcheckmark e che se x_kleq per tutte le kleq n alllora x_nsqrt+x_n-leq sqrt+leq .quad checkmark Per dimostra che sia crescente verifichiamo che x_sqrtx_quadcheckmark e che se leq x_k-leq x_k per tutte le kleq n allora x_nsqrt+x_n-geq sqrt+x_n-x_n-quad checkmark in quanto la radice è crescente dunque la sequenza cresce. Per il teorema di Weierstrass la sequenza converge. Il suo limite soddisfainfine xsqrt+xiff x^-x-iff xfracpmsqrt e siccome deve essere positivo abbiamo lim_ntoinftyx_nfrac+sqrt. abc La costruzione con il semicerchio non è altro che una diretta applicazione del teorema delle altezze di Euclide: x_n-+ x_n^iff x_nsqrtx_n-+. abclist
Meta Information
Exercise:
textbfRadici infinite abclist abc Riconducentoti all'Esempio visto in classe dimostra formalmente ossia verifica la convergenza e poi calcola il limite che sqrt+sqrt+sqrt+sqrt+sqrts frac+sqrtvarphi il cosidetto rapporto aureo poni x_. abc Verifica ora che il passaggio di ricorsione qui definito può essere ricondotto al seguente disegno: center tikzpicturescale. tkzDefPos-//A //S //B/./BB //C //M tkzInterLCBBBMAtkzGetFirstPoR pgfresetboundingbox tkzDrawArcMCA tkzDrawSegmentsAC BR tkzLabelSegmentbelowASx_n- tkzLabelSegmentbelowSB tkzLabelSegmentbelowBC tkzLabelSegmentrightBRx_n tkzMarkRightAnglesize.fillblack!CBR tkzDrawPosABCRS tikzpicture center abclist
Solution:
abclist abc Pono la sequenza che parte con x_ abbiamo che il prossimo termine è determinato da x_nsqrt+x_n-. In modo del tutto simile a quanto visto nell'esempio verifichiamo che la sequenza è crescente e limitata da . Abbiamo che x_leq quadcheckmark e che se x_kleq per tutte le kleq n alllora x_nsqrt+x_n-leq sqrt+leq .quad checkmark Per dimostra che sia crescente verifichiamo che x_sqrtx_quadcheckmark e che se leq x_k-leq x_k per tutte le kleq n allora x_nsqrt+x_n-geq sqrt+x_n-x_n-quad checkmark in quanto la radice è crescente dunque la sequenza cresce. Per il teorema di Weierstrass la sequenza converge. Il suo limite soddisfainfine xsqrt+xiff x^-x-iff xfracpmsqrt e siccome deve essere positivo abbiamo lim_ntoinftyx_nfrac+sqrt. abc La costruzione con il semicerchio non è altro che una diretta applicazione del teorema delle altezze di Euclide: x_n-+ x_n^iff x_nsqrtx_n-+. abclist
textbfRadici infinite abclist abc Riconducentoti all'Esempio visto in classe dimostra formalmente ossia verifica la convergenza e poi calcola il limite che sqrt+sqrt+sqrt+sqrt+sqrts frac+sqrtvarphi il cosidetto rapporto aureo poni x_. abc Verifica ora che il passaggio di ricorsione qui definito può essere ricondotto al seguente disegno: center tikzpicturescale. tkzDefPos-//A //S //B/./BB //C //M tkzInterLCBBBMAtkzGetFirstPoR pgfresetboundingbox tkzDrawArcMCA tkzDrawSegmentsAC BR tkzLabelSegmentbelowASx_n- tkzLabelSegmentbelowSB tkzLabelSegmentbelowBC tkzLabelSegmentrightBRx_n tkzMarkRightAnglesize.fillblack!CBR tkzDrawPosABCRS tikzpicture center abclist
Solution:
abclist abc Pono la sequenza che parte con x_ abbiamo che il prossimo termine è determinato da x_nsqrt+x_n-. In modo del tutto simile a quanto visto nell'esempio verifichiamo che la sequenza è crescente e limitata da . Abbiamo che x_leq quadcheckmark e che se x_kleq per tutte le kleq n alllora x_nsqrt+x_n-leq sqrt+leq .quad checkmark Per dimostra che sia crescente verifichiamo che x_sqrtx_quadcheckmark e che se leq x_k-leq x_k per tutte le kleq n allora x_nsqrt+x_n-geq sqrt+x_n-x_n-quad checkmark in quanto la radice è crescente dunque la sequenza cresce. Per il teorema di Weierstrass la sequenza converge. Il suo limite soddisfainfine xsqrt+xiff x^-x-iff xfracpmsqrt e siccome deve essere positivo abbiamo lim_ntoinftyx_nfrac+sqrt. abc La costruzione con il semicerchio non è altro che una diretta applicazione del teorema delle altezze di Euclide: x_n-+ x_n^iff x_nsqrtx_n-+. abclist
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