Teorema di Weierstrass 3
Question
Solution
Short
Video
\(\LaTeX\)
No explanation / solution video to this exercise has yet been created.
Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Exercise:
Considera la sequenza s_nfrac!+frac!+frac!+ldots+fracn-!+fracn!. abclist abc Riscrivi la sequenza utilizzando la notazione Sigma. abc Argomenta perché la sequenza s_n è crescente. abc Argomenta perche ^n-leq n! per tutte le n. abc Utilizzando la parte precedente concludi che la sequenza s_n è limitata superiormente da e quindi converge. abclist Il valore di questo limite è il textbfnumero di Eulero e e può anche equivalentemente essere calcolato tramite un secondo limite notevole e:lim_nto infty frac!+frac!+frac!+ldots+fracn-!+fracn!lim_nto inftyleft+fracnright^n.
Solution:
abclist abc s_n_k^nfrack! abc Notiamo che s_ns_n-+fracn! dunque di termine in termine stiamo aggiungo un numero positivo al termine precedente di conseguenza la sequenza è crescente. abc Abbiamo che per n vale ^-fracleq ! e in generale siccome in ^n- moltiplicheremo il n- volte mentre in n! moltiplichiamo i numeri da a n che sono tutti maggiori automaticamente ^n-leq n!. abc Abbiamo che s_n_k^nfrack!leq _k^nfrac^k- frac-leftfracright^n-fracleft-leftfracright^nright dunque nel limite _k^infty frack!leq lim_nto inftyleft-leftfracright^nright. abc Nelle parti precedenti abbiamo dimostrato che la sequenza è crescente e limitata dunque per il criterio di Bolzano-Weierstrass converge. abclist
Considera la sequenza s_nfrac!+frac!+frac!+ldots+fracn-!+fracn!. abclist abc Riscrivi la sequenza utilizzando la notazione Sigma. abc Argomenta perché la sequenza s_n è crescente. abc Argomenta perche ^n-leq n! per tutte le n. abc Utilizzando la parte precedente concludi che la sequenza s_n è limitata superiormente da e quindi converge. abclist Il valore di questo limite è il textbfnumero di Eulero e e può anche equivalentemente essere calcolato tramite un secondo limite notevole e:lim_nto infty frac!+frac!+frac!+ldots+fracn-!+fracn!lim_nto inftyleft+fracnright^n.
Solution:
abclist abc s_n_k^nfrack! abc Notiamo che s_ns_n-+fracn! dunque di termine in termine stiamo aggiungo un numero positivo al termine precedente di conseguenza la sequenza è crescente. abc Abbiamo che per n vale ^-fracleq ! e in generale siccome in ^n- moltiplicheremo il n- volte mentre in n! moltiplichiamo i numeri da a n che sono tutti maggiori automaticamente ^n-leq n!. abc Abbiamo che s_n_k^nfrack!leq _k^nfrac^k- frac-leftfracright^n-fracleft-leftfracright^nright dunque nel limite _k^infty frack!leq lim_nto inftyleft-leftfracright^nright. abc Nelle parti precedenti abbiamo dimostrato che la sequenza è crescente e limitata dunque per il criterio di Bolzano-Weierstrass converge. abclist