Exercise:
footnoteA. Silini La successione di quadrati: center tikzpicturescale. draw -- -- -- -- cycle; draw -- -- -- -- cycle; draw .. -- .. -- .. -- .. -- cycle; draw .. -- .. -- .. -- .. -- cycle; draw .. -- .. -- .. -- .. -- cycle; tikzpicture center Di quadrato in quadrato ci si sposta di su ogni lato e si forma il prossimo quadrato. Sapo che il primo termine è l_. abclist abc Calcola i primi termini della successione l_n e poi definisci l_n rigorosamente tramite una formula ricorsiva. abc Spiega a parole o algebricamente perché si può affermare che la successione l_n è limitata superiormente da e inferiormente da . abc Dimostra che la successione è decrescente abc Perché puoi concludere che la successione è convergente? Calcola il suo limite. itemast Determina una formula per le coordinate del vertice dell'n-esimo quadrato derivante dal vertice originariamente in basso a sinistra abclist

Solution:
abclist abc Abbiamo che l_ e per pitagora l_nsqrt^+l_n--^sqrtl_n-^-l_n-+ abc Informalmente è chiaro che la successione è limitata superiormente da in quanto il primo quadrato è il più grande e quelli successivi saranno più piccoli. Sempre informalmente è anche evidente che la successione non può scere sotto a in quanto a quel punto il prossimo quadrato sarà uguale al corrente avverrà una rotazione. Formalmente si può vedere che l_nvphantomunderbracex_xsqrtsmashb^+underbracel_n--^_geq geq sqrt^ perché la radice quadrata è crescente. abc Abbiamo che l_nvphantomunderbraceunderbracex_x_xsqrtsmashbl_n-^underbracunderbracel_n-_geq +_leq leq sqrtl_n-^l_n- dunque la sequenza è decrescente. abc Per il criterio di Bolzano Weierstrass se una sequenza è limitata e monot'ona come in questo caso converge. Il limite lim_nto infty l_nL si ottiene risolvo LsqrtL^-L+iff L itemast Soluzione omessa. abclist