Topologie Schnitt/Vereinigung
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
Solution
Short
Video
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Exercise:
Sei X ein metrischer Raum. Dann gilt itemize item Der Durchschnitt lich vieler offener Teilmengen von X ist offen. item Der Vereinigung beliebig vieler offener Teilmengen von X ist offen. item Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Teilmengen von X ist offen. item Der Vereinigung lich vieler abgeschlossener Teilmengen von X ist offen. itemize
Solution:
Beweis. Seien O_...O_n subseteq X offen und sei xin bigcap_k^n O_k. Dann gibt es für jedes kin ...n einen Radius epsilon_k mit B_epsilon_kxsubseteq O_k da x in O_k liegt und O_k offen ist per Annahme. Für den Radius epsilon textmin_k...nepsilon_k gilt nun B_epsilonsubseteq bigcap_k^n O_k. Da xin bigcap_k^n O_k beliebig ist schliesst man dass bigcap_k^n O_k offen ist. Sei nun mathcalI eine beliebige Menge und für jedes alpha in mathcalI eine offene Teilmenge O_alpha von X gegeben. Für jedes xin bigcup_alpha in mathcalI O_alpha existiert ein beta in mathcalI mit xin O_beta. Da O_betasubseteq X per Annahme offen ist existiert ein Radius epsilon mit B_epsilonxsubseteq O_betasubseteq bigcup_alpha in mathcalIO_alpha. Dies beweist dass bigcup_alpha in mathcalIO_alpha offen ist. Die beiden Aussagen über abgeschlossene Teilmengen ergeben sich nun aus den ersten zwei Punkten und den Gesetzen von De Morgan. Sind beispielsweise A_...A_nsubseteq X abgeschlossen dann ist für jedes kin ...n die Teilmenge O_kXbackslash A_k offen und somit ist nach dem ersten Punkt bigcap_k^nO_k offen. Also ist Xbackslashbigcap_k^nO_kbigcup_k^nA_k abgeschlossen.
Sei X ein metrischer Raum. Dann gilt itemize item Der Durchschnitt lich vieler offener Teilmengen von X ist offen. item Der Vereinigung beliebig vieler offener Teilmengen von X ist offen. item Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Teilmengen von X ist offen. item Der Vereinigung lich vieler abgeschlossener Teilmengen von X ist offen. itemize
Solution:
Beweis. Seien O_...O_n subseteq X offen und sei xin bigcap_k^n O_k. Dann gibt es für jedes kin ...n einen Radius epsilon_k mit B_epsilon_kxsubseteq O_k da x in O_k liegt und O_k offen ist per Annahme. Für den Radius epsilon textmin_k...nepsilon_k gilt nun B_epsilonsubseteq bigcap_k^n O_k. Da xin bigcap_k^n O_k beliebig ist schliesst man dass bigcap_k^n O_k offen ist. Sei nun mathcalI eine beliebige Menge und für jedes alpha in mathcalI eine offene Teilmenge O_alpha von X gegeben. Für jedes xin bigcup_alpha in mathcalI O_alpha existiert ein beta in mathcalI mit xin O_beta. Da O_betasubseteq X per Annahme offen ist existiert ein Radius epsilon mit B_epsilonxsubseteq O_betasubseteq bigcup_alpha in mathcalIO_alpha. Dies beweist dass bigcup_alpha in mathcalIO_alpha offen ist. Die beiden Aussagen über abgeschlossene Teilmengen ergeben sich nun aus den ersten zwei Punkten und den Gesetzen von De Morgan. Sind beispielsweise A_...A_nsubseteq X abgeschlossen dann ist für jedes kin ...n die Teilmenge O_kXbackslash A_k offen und somit ist nach dem ersten Punkt bigcap_k^nO_k offen. Also ist Xbackslashbigcap_k^nO_kbigcup_k^nA_k abgeschlossen.
Meta Information
Exercise:
Sei X ein metrischer Raum. Dann gilt itemize item Der Durchschnitt lich vieler offener Teilmengen von X ist offen. item Der Vereinigung beliebig vieler offener Teilmengen von X ist offen. item Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Teilmengen von X ist offen. item Der Vereinigung lich vieler abgeschlossener Teilmengen von X ist offen. itemize
Solution:
Beweis. Seien O_...O_n subseteq X offen und sei xin bigcap_k^n O_k. Dann gibt es für jedes kin ...n einen Radius epsilon_k mit B_epsilon_kxsubseteq O_k da x in O_k liegt und O_k offen ist per Annahme. Für den Radius epsilon textmin_k...nepsilon_k gilt nun B_epsilonsubseteq bigcap_k^n O_k. Da xin bigcap_k^n O_k beliebig ist schliesst man dass bigcap_k^n O_k offen ist. Sei nun mathcalI eine beliebige Menge und für jedes alpha in mathcalI eine offene Teilmenge O_alpha von X gegeben. Für jedes xin bigcup_alpha in mathcalI O_alpha existiert ein beta in mathcalI mit xin O_beta. Da O_betasubseteq X per Annahme offen ist existiert ein Radius epsilon mit B_epsilonxsubseteq O_betasubseteq bigcup_alpha in mathcalIO_alpha. Dies beweist dass bigcup_alpha in mathcalIO_alpha offen ist. Die beiden Aussagen über abgeschlossene Teilmengen ergeben sich nun aus den ersten zwei Punkten und den Gesetzen von De Morgan. Sind beispielsweise A_...A_nsubseteq X abgeschlossen dann ist für jedes kin ...n die Teilmenge O_kXbackslash A_k offen und somit ist nach dem ersten Punkt bigcap_k^nO_k offen. Also ist Xbackslashbigcap_k^nO_kbigcup_k^nA_k abgeschlossen.
Sei X ein metrischer Raum. Dann gilt itemize item Der Durchschnitt lich vieler offener Teilmengen von X ist offen. item Der Vereinigung beliebig vieler offener Teilmengen von X ist offen. item Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Teilmengen von X ist offen. item Der Vereinigung lich vieler abgeschlossener Teilmengen von X ist offen. itemize
Solution:
Beweis. Seien O_...O_n subseteq X offen und sei xin bigcap_k^n O_k. Dann gibt es für jedes kin ...n einen Radius epsilon_k mit B_epsilon_kxsubseteq O_k da x in O_k liegt und O_k offen ist per Annahme. Für den Radius epsilon textmin_k...nepsilon_k gilt nun B_epsilonsubseteq bigcap_k^n O_k. Da xin bigcap_k^n O_k beliebig ist schliesst man dass bigcap_k^n O_k offen ist. Sei nun mathcalI eine beliebige Menge und für jedes alpha in mathcalI eine offene Teilmenge O_alpha von X gegeben. Für jedes xin bigcup_alpha in mathcalI O_alpha existiert ein beta in mathcalI mit xin O_beta. Da O_betasubseteq X per Annahme offen ist existiert ein Radius epsilon mit B_epsilonxsubseteq O_betasubseteq bigcup_alpha in mathcalIO_alpha. Dies beweist dass bigcup_alpha in mathcalIO_alpha offen ist. Die beiden Aussagen über abgeschlossene Teilmengen ergeben sich nun aus den ersten zwei Punkten und den Gesetzen von De Morgan. Sind beispielsweise A_...A_nsubseteq X abgeschlossen dann ist für jedes kin ...n die Teilmenge O_kXbackslash A_k offen und somit ist nach dem ersten Punkt bigcap_k^nO_k offen. Also ist Xbackslashbigcap_k^nO_kbigcup_k^nA_k abgeschlossen.
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