Totale Variation des Weges
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
Solution
Short
Video
\(\LaTeX\)
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Exercise:
Diese Übung soll dazu dienen eine weitere Begründung für die Definition der Bogenlänge eines Weges gamma:abrightarrow mathbbR^d zu geben. Hierfür erpretiert man dvw||v-w||_ als den Abstand zweier Punkte vwin mathbbR^d. Die totale Variation von gamma:abrightarrow mathbbR^d ist definiert als Vgammatextsup_k^n ||gammax_k-gammax_k-|| wobei das Supremum über alle Zerlegungen zetax_a x_ ... x_nb von ab genommen wird. Nehmen Sie nun an dass gamma stetig differenzierbar ist und zeigen Sie VgammaLgamma. Intuitiver ausgedrückt setzt man einfach Punkte auf der Kurve verbindet diese und addiert dann diese Verbindungslinien. Der Weg den man so berechnet wird länger je feiner man die Zerlegung wählt also je mehr Punkte man setzt.
Solution:
Beweis Lgammageq Vgamma. Wegen der Additivität von L genügt es Lgamma|_rs geq ||gammas-gammar||_ zu zeigen aleq r sleq b. Man nimmt weiter an dass gammas-gammarl e_: l||gammas-gammar||_ Lgamma|_rs_r^s ||dotgammat||_ddt &geq _r^s dotgamma_tddt gamma_s-gamma_r l Beweis Lgammaleq Vgamma. dotgamma_i:abrightarrow mathbbR ist gleichmässig stetig Satz von Heine . d.h. forall epsilon exists delta :|t-u| delta Longrightarrow |dotgamma_it-dotgamma_iu| epsilon quad i...d Seien jetzt aleq r s leq b s-r delta Teilervall der Zerlegung. ||gammas-gammar||_sqrt_i^ddotgamma_iu_i^s-r _r^s ||dotgamma_u_...dotgamma_du_d||_ddt &geq _r^s||dotgammat||_-d epsilon ddt Lgamma|_rs-depsilonr-s Es folgt Vgammageq Lgamma-depsilon b-a.
Diese Übung soll dazu dienen eine weitere Begründung für die Definition der Bogenlänge eines Weges gamma:abrightarrow mathbbR^d zu geben. Hierfür erpretiert man dvw||v-w||_ als den Abstand zweier Punkte vwin mathbbR^d. Die totale Variation von gamma:abrightarrow mathbbR^d ist definiert als Vgammatextsup_k^n ||gammax_k-gammax_k-|| wobei das Supremum über alle Zerlegungen zetax_a x_ ... x_nb von ab genommen wird. Nehmen Sie nun an dass gamma stetig differenzierbar ist und zeigen Sie VgammaLgamma. Intuitiver ausgedrückt setzt man einfach Punkte auf der Kurve verbindet diese und addiert dann diese Verbindungslinien. Der Weg den man so berechnet wird länger je feiner man die Zerlegung wählt also je mehr Punkte man setzt.
Solution:
Beweis Lgammageq Vgamma. Wegen der Additivität von L genügt es Lgamma|_rs geq ||gammas-gammar||_ zu zeigen aleq r sleq b. Man nimmt weiter an dass gammas-gammarl e_: l||gammas-gammar||_ Lgamma|_rs_r^s ||dotgammat||_ddt &geq _r^s dotgamma_tddt gamma_s-gamma_r l Beweis Lgammaleq Vgamma. dotgamma_i:abrightarrow mathbbR ist gleichmässig stetig Satz von Heine . d.h. forall epsilon exists delta :|t-u| delta Longrightarrow |dotgamma_it-dotgamma_iu| epsilon quad i...d Seien jetzt aleq r s leq b s-r delta Teilervall der Zerlegung. ||gammas-gammar||_sqrt_i^ddotgamma_iu_i^s-r _r^s ||dotgamma_u_...dotgamma_du_d||_ddt &geq _r^s||dotgammat||_-d epsilon ddt Lgamma|_rs-depsilonr-s Es folgt Vgammageq Lgamma-depsilon b-a.
Meta Information
Exercise:
Diese Übung soll dazu dienen eine weitere Begründung für die Definition der Bogenlänge eines Weges gamma:abrightarrow mathbbR^d zu geben. Hierfür erpretiert man dvw||v-w||_ als den Abstand zweier Punkte vwin mathbbR^d. Die totale Variation von gamma:abrightarrow mathbbR^d ist definiert als Vgammatextsup_k^n ||gammax_k-gammax_k-|| wobei das Supremum über alle Zerlegungen zetax_a x_ ... x_nb von ab genommen wird. Nehmen Sie nun an dass gamma stetig differenzierbar ist und zeigen Sie VgammaLgamma. Intuitiver ausgedrückt setzt man einfach Punkte auf der Kurve verbindet diese und addiert dann diese Verbindungslinien. Der Weg den man so berechnet wird länger je feiner man die Zerlegung wählt also je mehr Punkte man setzt.
Solution:
Beweis Lgammageq Vgamma. Wegen der Additivität von L genügt es Lgamma|_rs geq ||gammas-gammar||_ zu zeigen aleq r sleq b. Man nimmt weiter an dass gammas-gammarl e_: l||gammas-gammar||_ Lgamma|_rs_r^s ||dotgammat||_ddt &geq _r^s dotgamma_tddt gamma_s-gamma_r l Beweis Lgammaleq Vgamma. dotgamma_i:abrightarrow mathbbR ist gleichmässig stetig Satz von Heine . d.h. forall epsilon exists delta :|t-u| delta Longrightarrow |dotgamma_it-dotgamma_iu| epsilon quad i...d Seien jetzt aleq r s leq b s-r delta Teilervall der Zerlegung. ||gammas-gammar||_sqrt_i^ddotgamma_iu_i^s-r _r^s ||dotgamma_u_...dotgamma_du_d||_ddt &geq _r^s||dotgammat||_-d epsilon ddt Lgamma|_rs-depsilonr-s Es folgt Vgammageq Lgamma-depsilon b-a.
Diese Übung soll dazu dienen eine weitere Begründung für die Definition der Bogenlänge eines Weges gamma:abrightarrow mathbbR^d zu geben. Hierfür erpretiert man dvw||v-w||_ als den Abstand zweier Punkte vwin mathbbR^d. Die totale Variation von gamma:abrightarrow mathbbR^d ist definiert als Vgammatextsup_k^n ||gammax_k-gammax_k-|| wobei das Supremum über alle Zerlegungen zetax_a x_ ... x_nb von ab genommen wird. Nehmen Sie nun an dass gamma stetig differenzierbar ist und zeigen Sie VgammaLgamma. Intuitiver ausgedrückt setzt man einfach Punkte auf der Kurve verbindet diese und addiert dann diese Verbindungslinien. Der Weg den man so berechnet wird länger je feiner man die Zerlegung wählt also je mehr Punkte man setzt.
Solution:
Beweis Lgammageq Vgamma. Wegen der Additivität von L genügt es Lgamma|_rs geq ||gammas-gammar||_ zu zeigen aleq r sleq b. Man nimmt weiter an dass gammas-gammarl e_: l||gammas-gammar||_ Lgamma|_rs_r^s ||dotgammat||_ddt &geq _r^s dotgamma_tddt gamma_s-gamma_r l Beweis Lgammaleq Vgamma. dotgamma_i:abrightarrow mathbbR ist gleichmässig stetig Satz von Heine . d.h. forall epsilon exists delta :|t-u| delta Longrightarrow |dotgamma_it-dotgamma_iu| epsilon quad i...d Seien jetzt aleq r s leq b s-r delta Teilervall der Zerlegung. ||gammas-gammar||_sqrt_i^ddotgamma_iu_i^s-r _r^s ||dotgamma_u_...dotgamma_du_d||_ddt &geq _r^s||dotgammat||_-d epsilon ddt Lgamma|_rs-depsilonr-s Es folgt Vgammageq Lgamma-depsilon b-a.
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