Exercise
https://texercises.com/exercise/totale-variation-des-weges/
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Exercise:
Diese Übung soll dazu dienen eine weitere Begründung für die Definition der Bogenlänge eines Weges gamma:abrightarrow mathbbR^d zu geben. Hierfür erpretiert man dvw||v-w||_ als den Abstand zweier Punkte vwin mathbbR^d. Die totale Variation von gamma:abrightarrow mathbbR^d ist definiert als Vgammatextsup_k^n ||gammax_k-gammax_k-|| wobei das Supremum über alle Zerlegungen zetax_a x_ ... x_nb von ab genommen wird. Nehmen Sie nun an dass gamma stetig differenzierbar ist und zeigen Sie VgammaLgamma. Intuitiver ausgedrückt setzt man einfach Punkte auf der Kurve verbindet diese und addiert dann diese Verbindungslinien. Der Weg den man so berechnet wird länger je feiner man die Zerlegung wählt also je mehr Punkte man setzt.

Solution:
Beweis Lgammageq Vgamma. Wegen der Additivität von L genügt es Lgamma|_rs geq ||gammas-gammar||_ zu zeigen aleq r sleq b. Man nimmt weiter an dass gammas-gammarl e_: l||gammas-gammar||_ Lgamma|_rs_r^s ||dotgammat||_ddt &geq _r^s dotgamma_tddt gamma_s-gamma_r l Beweis Lgammaleq Vgamma. dotgamma_i:abrightarrow mathbbR ist gleichmässig stetig Satz von Heine . d.h. forall epsilon exists delta :|t-u| delta Longrightarrow |dotgamma_it-dotgamma_iu| epsilon quad i...d Seien jetzt aleq r s leq b s-r delta Teilervall der Zerlegung. ||gammas-gammar||_sqrt_i^ddotgamma_iu_i^s-r _r^s ||dotgamma_u_...dotgamma_du_d||_ddt &geq _r^s||dotgammat||_-d epsilon ddt Lgamma|_rs-depsilonr-s Es folgt Vgammageq Lgamma-depsilon b-a.
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Exercise:
Diese Übung soll dazu dienen eine weitere Begründung für die Definition der Bogenlänge eines Weges gamma:abrightarrow mathbbR^d zu geben. Hierfür erpretiert man dvw||v-w||_ als den Abstand zweier Punkte vwin mathbbR^d. Die totale Variation von gamma:abrightarrow mathbbR^d ist definiert als Vgammatextsup_k^n ||gammax_k-gammax_k-|| wobei das Supremum über alle Zerlegungen zetax_a x_ ... x_nb von ab genommen wird. Nehmen Sie nun an dass gamma stetig differenzierbar ist und zeigen Sie VgammaLgamma. Intuitiver ausgedrückt setzt man einfach Punkte auf der Kurve verbindet diese und addiert dann diese Verbindungslinien. Der Weg den man so berechnet wird länger je feiner man die Zerlegung wählt also je mehr Punkte man setzt.

Solution:
Beweis Lgammageq Vgamma. Wegen der Additivität von L genügt es Lgamma|_rs geq ||gammas-gammar||_ zu zeigen aleq r sleq b. Man nimmt weiter an dass gammas-gammarl e_: l||gammas-gammar||_ Lgamma|_rs_r^s ||dotgammat||_ddt &geq _r^s dotgamma_tddt gamma_s-gamma_r l Beweis Lgammaleq Vgamma. dotgamma_i:abrightarrow mathbbR ist gleichmässig stetig Satz von Heine . d.h. forall epsilon exists delta :|t-u| delta Longrightarrow |dotgamma_it-dotgamma_iu| epsilon quad i...d Seien jetzt aleq r s leq b s-r delta Teilervall der Zerlegung. ||gammas-gammar||_sqrt_i^ddotgamma_iu_i^s-r _r^s ||dotgamma_u_...dotgamma_du_d||_ddt &geq _r^s||dotgammat||_-d epsilon ddt Lgamma|_rs-depsilonr-s Es folgt Vgammageq Lgamma-depsilon b-a.
Contained in these collections:

Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, bogenlänge, eth, fs23, proof, wegintegral
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Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Creator rk
Decoration
File
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