Trägheitsmoment einer inhomogenen Kugel
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The following quantities appear in the problem:
The following formulas must be used to solve the exercise:
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Exercise:
Bestimme das Trägheitsmoment einer Kugel bezüglich einer Drehachse ihren Mittelpunkt. Die Dichte der Kugel sei dabei gegeben durch rhortheta phi rho_ + mufracrR + nu fracthetapi.
Solution:
Die Masse der inhomogenen Kugel ist: m ddm && ddmrho ddV rho ddV && ddV r^ sinthetaddrddphiddtheta text Kugelkoordinaten rho r^ sinthetaddrddphiddtheta rho_ + mufracrR + nu fracthetapi r^ sinthetaddrddphiddtheta _^pi ddtheta _^R ddr _^piddphi rho_ + mufracrR + nu fracthetapi r^ sintheta Alle Integrationen sauber durchgeführt ergibt: _^pi ddtheta _^R ddr leftrho_ + mufracrR + nu fracthetapiright r^ sintheta leftright_^pi _^pi ddtheta _^R ddr leftrho_ + mufracrR + nu fracthetapiright r^ sintheta pi _^pi ddtheta _^R ddr leftrho_r^ + mufracr^R + nu fracthetapir^right sintheta pi _^pi ddtheta pi sintheta leftfrac rho_r^ + fracmufracr^R + nu fracthetapifracr^right_^R _^pi ddtheta pi sintheta leftfrac rho_R^ + fracmu R^ + nu fracthetapifracR^right _^pi ddtheta pi leftfrac rho_R^sheta + fracmu R^sheta + nu fracthetapifracR^shetaright pi left -frac rho_R^ costheta - fracmu R^costheta + fracnu R^pi sheta-thetacosthetaright_^pi pi R^ leftfrac rho_ + fracmu + frac nu right Das Trägheitsmoment der inhomogenen Kugel ist: m tilde r^ ddm && ddmrho ddV x^+y^ rho ddV && ddV r^ sinthetaddrddphiddtheta text Kugelkoordinaten r^sin^theta rho r^ sinthetaddrddphiddtheta rho_ + mufracrR + nu fracthetapi r^ sin^thetaddrddphiddtheta _^pi ddtheta _^R ddr _^piddphi rho_ + mufracrR + nu fracthetapi r^ sin^theta Alle Integrationen sauber durchgeführt ergibt: _^pi ddtheta _^R ddr leftrho_ + mufracrR + nu fracthetapiright r^ sin^theta leftright_^pi _^pi ddtheta _^R ddr leftrho_ + mufracrR + nu fracthetapiright r^ sin^theta pi _^pi ddtheta _^R ddr leftrho_r^ + mufracr^R + nu fracthetapir^right sin^theta pi _^pi ddtheta pi sin^theta leftfrac rho_r^ + fracmufracr^R + nu fracthetapifracr^right_^R _^pi ddtheta pi sin^theta leftfrac rho_R^ + fracmu R^ + nu fracthetapifracR^right _^pi ddtheta pi leftfrac rho_R^sin^theta + fracmu R^sin^theta + nu fracthetapifracR^sin^thetaright pi leftfrac rho_R^ fraccostheta-fraccostheta + fracmu R^fraccostheta-fraccostheta + fracnupifracR^ dots right_^pi pi leftfrac rho_R^ frac + fracmu R^frac + fracnupifracR^ fracpiright pi R^ leftfrac rho_ + fracmu + nu fracright frac pi R^ leftfrac rho_ + fracmu + frac nu right R^
Bestimme das Trägheitsmoment einer Kugel bezüglich einer Drehachse ihren Mittelpunkt. Die Dichte der Kugel sei dabei gegeben durch rhortheta phi rho_ + mufracrR + nu fracthetapi.
Solution:
Die Masse der inhomogenen Kugel ist: m ddm && ddmrho ddV rho ddV && ddV r^ sinthetaddrddphiddtheta text Kugelkoordinaten rho r^ sinthetaddrddphiddtheta rho_ + mufracrR + nu fracthetapi r^ sinthetaddrddphiddtheta _^pi ddtheta _^R ddr _^piddphi rho_ + mufracrR + nu fracthetapi r^ sintheta Alle Integrationen sauber durchgeführt ergibt: _^pi ddtheta _^R ddr leftrho_ + mufracrR + nu fracthetapiright r^ sintheta leftright_^pi _^pi ddtheta _^R ddr leftrho_ + mufracrR + nu fracthetapiright r^ sintheta pi _^pi ddtheta _^R ddr leftrho_r^ + mufracr^R + nu fracthetapir^right sintheta pi _^pi ddtheta pi sintheta leftfrac rho_r^ + fracmufracr^R + nu fracthetapifracr^right_^R _^pi ddtheta pi sintheta leftfrac rho_R^ + fracmu R^ + nu fracthetapifracR^right _^pi ddtheta pi leftfrac rho_R^sheta + fracmu R^sheta + nu fracthetapifracR^shetaright pi left -frac rho_R^ costheta - fracmu R^costheta + fracnu R^pi sheta-thetacosthetaright_^pi pi R^ leftfrac rho_ + fracmu + frac nu right Das Trägheitsmoment der inhomogenen Kugel ist: m tilde r^ ddm && ddmrho ddV x^+y^ rho ddV && ddV r^ sinthetaddrddphiddtheta text Kugelkoordinaten r^sin^theta rho r^ sinthetaddrddphiddtheta rho_ + mufracrR + nu fracthetapi r^ sin^thetaddrddphiddtheta _^pi ddtheta _^R ddr _^piddphi rho_ + mufracrR + nu fracthetapi r^ sin^theta Alle Integrationen sauber durchgeführt ergibt: _^pi ddtheta _^R ddr leftrho_ + mufracrR + nu fracthetapiright r^ sin^theta leftright_^pi _^pi ddtheta _^R ddr leftrho_ + mufracrR + nu fracthetapiright r^ sin^theta pi _^pi ddtheta _^R ddr leftrho_r^ + mufracr^R + nu fracthetapir^right sin^theta pi _^pi ddtheta pi sin^theta leftfrac rho_r^ + fracmufracr^R + nu fracthetapifracr^right_^R _^pi ddtheta pi sin^theta leftfrac rho_R^ + fracmu R^ + nu fracthetapifracR^right _^pi ddtheta pi leftfrac rho_R^sin^theta + fracmu R^sin^theta + nu fracthetapifracR^sin^thetaright pi leftfrac rho_R^ fraccostheta-fraccostheta + fracmu R^fraccostheta-fraccostheta + fracnupifracR^ dots right_^pi pi leftfrac rho_R^ frac + fracmu R^frac + fracnupifracR^ fracpiright pi R^ leftfrac rho_ + fracmu + nu fracright frac pi R^ leftfrac rho_ + fracmu + frac nu right R^