Trigonometrische Funktionen mit einer Arkusfunktion als Argument
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Exercise:
Schreibe die folgen Ausdrücke ohne trigonometrische Funktionen. abclist abc sinarccosx abc sinarctanx abc cosarcsinx abc cosarctanx abc tanarcsinx abc tanarccosx abclist
Solution:
abclist abc Wir definieren al beta arccosx x cosbeta. Bezeichnen wir im rechtwinkligen Dreieck die Ankathete zu beta mit a und die Hypotenuse mit c dann folgt al fracac cosbeta. Die Gegenkathete zum Winkel beta lässt sich mit dem Satz des Pythagoras als al b sqrtc^-a^ schreiben woraus al fracsqrtc^-a^c sinbeta sqrt-fraca^c^ sinbeta beta arcsinsqrt-fraca^c^ folgt. Ersetzen wir xfracac folgt al arccosx arcsinsqrt-x^ und damit al sinarccosx sinarcsinsqrt-x^ sinarccosx sqrt-x^. abc Wir definieren al alpha arctanx x tanalpha. Bezeichnen wir im rechtwinkligen Dreieck die Gegenkathete zu alpha mit a und die Ankathete mit b dann folgt al fracab tanalpha. Die Hypotenuse sich mit dem Satz des Pythagoras als al c sqrta^+b^ schreiben woraus al fracasqrta^+b^ sinalpha fracfracabsqrtfraca^b^+ sinalpha alpha arcsinfracfracabsqrtfraca^b^+ folgt. Ersetzen wir xfracab folgt al arctanx arcsinfracxsqrt+x^ und damit al sinarctanx sinarcsinfracsqrt+x^ sinarctanx fracxsqrt+x^. abc cosarcsinx abc cosarctanx abc tanarcsinx abc tanarccosx abclist
Schreibe die folgen Ausdrücke ohne trigonometrische Funktionen. abclist abc sinarccosx abc sinarctanx abc cosarcsinx abc cosarctanx abc tanarcsinx abc tanarccosx abclist
Solution:
abclist abc Wir definieren al beta arccosx x cosbeta. Bezeichnen wir im rechtwinkligen Dreieck die Ankathete zu beta mit a und die Hypotenuse mit c dann folgt al fracac cosbeta. Die Gegenkathete zum Winkel beta lässt sich mit dem Satz des Pythagoras als al b sqrtc^-a^ schreiben woraus al fracsqrtc^-a^c sinbeta sqrt-fraca^c^ sinbeta beta arcsinsqrt-fraca^c^ folgt. Ersetzen wir xfracac folgt al arccosx arcsinsqrt-x^ und damit al sinarccosx sinarcsinsqrt-x^ sinarccosx sqrt-x^. abc Wir definieren al alpha arctanx x tanalpha. Bezeichnen wir im rechtwinkligen Dreieck die Gegenkathete zu alpha mit a und die Ankathete mit b dann folgt al fracab tanalpha. Die Hypotenuse sich mit dem Satz des Pythagoras als al c sqrta^+b^ schreiben woraus al fracasqrta^+b^ sinalpha fracfracabsqrtfraca^b^+ sinalpha alpha arcsinfracfracabsqrtfraca^b^+ folgt. Ersetzen wir xfracab folgt al arctanx arcsinfracxsqrt+x^ und damit al sinarctanx sinarcsinfracsqrt+x^ sinarctanx fracxsqrt+x^. abc cosarcsinx abc cosarctanx abc tanarcsinx abc tanarccosx abclist