Ungedämpfte Schwingung
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Exercise:
Eine Masse sig schwingt ungedämpft an einer Feder mit .siN/m Federkonstante. Die Masse wird an der Feder simm nach unten gezogen und dann losgelassen. enumerate item Wie viel Zeit verstreicht bis die Masse sich an der höchsten Stelle befindet? item Wie gross ist die Elongation der Masse sis nach erreichen dieser oberen Amplitude? item Zu welcher Zeit beträgt die Geschwindigkeit der Masse zum ersten Mal nur noch % ihrer Maximalgeschwindigkeit? item Wie gross ist die Beschleunigung der Masse bei simm Elongation? enumerate
Solution:
enumerate item Von ganz unten nach ganz oben dauert es eine halbe Schwingungsdauer: omega_sqrtfracDm .sirad/s Ra T_fracpiomega_.sis Damit erhalten wir: fracT_ res.s item Die Elongation sis nach erreichen der höchsten Stelle findet man wenn man sich vorstellt dass die Schwingung an der höchsten Stelle anfängt und damit eine reine Cosinus-Schwingung darstellt: yt_mathrmby_ cosomega_ t_mathrmb res. ^-m res.mm item Für die Geschwindigkeit gilt: dotyt-omega_y_sinomega_t Die Maximalgeschwindigkeit ist für sinomega_t erreicht also: doty_mathrmmaxomega_y_ Damit erhalten wir für doty.doty_mathrmmax: .omega_y_omega_y_sinomega_tRa sinomega_t. Damit erhalten wir: arcsin.omega_tRa tfracarcsin.omega_res. ^-s item Für die Beschleunigung gilt: ddotytomega_^y_cosomega_t Die einzige Unbekannte neben ddoty ist t. Aus der Elongation können wir t berechnen: yty_cosomega_tRa fracyty_cosomega_tRa arccosleftfracyty_rightomega_t Damit erhalten wir: tfracyt arccosleftfracyty_rightomega_.sis Und für die Beschleunigung ergibt sich damit: ddotytomega_^y_cosomega_tres.m/s^ enumerate
Eine Masse sig schwingt ungedämpft an einer Feder mit .siN/m Federkonstante. Die Masse wird an der Feder simm nach unten gezogen und dann losgelassen. enumerate item Wie viel Zeit verstreicht bis die Masse sich an der höchsten Stelle befindet? item Wie gross ist die Elongation der Masse sis nach erreichen dieser oberen Amplitude? item Zu welcher Zeit beträgt die Geschwindigkeit der Masse zum ersten Mal nur noch % ihrer Maximalgeschwindigkeit? item Wie gross ist die Beschleunigung der Masse bei simm Elongation? enumerate
Solution:
enumerate item Von ganz unten nach ganz oben dauert es eine halbe Schwingungsdauer: omega_sqrtfracDm .sirad/s Ra T_fracpiomega_.sis Damit erhalten wir: fracT_ res.s item Die Elongation sis nach erreichen der höchsten Stelle findet man wenn man sich vorstellt dass die Schwingung an der höchsten Stelle anfängt und damit eine reine Cosinus-Schwingung darstellt: yt_mathrmby_ cosomega_ t_mathrmb res. ^-m res.mm item Für die Geschwindigkeit gilt: dotyt-omega_y_sinomega_t Die Maximalgeschwindigkeit ist für sinomega_t erreicht also: doty_mathrmmaxomega_y_ Damit erhalten wir für doty.doty_mathrmmax: .omega_y_omega_y_sinomega_tRa sinomega_t. Damit erhalten wir: arcsin.omega_tRa tfracarcsin.omega_res. ^-s item Für die Beschleunigung gilt: ddotytomega_^y_cosomega_t Die einzige Unbekannte neben ddoty ist t. Aus der Elongation können wir t berechnen: yty_cosomega_tRa fracyty_cosomega_tRa arccosleftfracyty_rightomega_t Damit erhalten wir: tfracyt arccosleftfracyty_rightomega_.sis Und für die Beschleunigung ergibt sich damit: ddotytomega_^y_cosomega_tres.m/s^ enumerate