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Exercise:
Finde Konstanten alpha und beta so dass das Vektorfeld * K leftx^y+xy^alpha x^+beta x^yright * ein Gradientenfeld ist und finde für diese Werte eine Funktion Phi mit nabla PhiK.

Solution:
Die Bedingung dass das Vektorfeld ein Gradientenfeld ist heisst fracpartial K_xpartial ymustbefracpartial K_ypartial x. Das führt auf die beiden Terme fracpartial K_xpartial y x^+xy fracpartial K_ypartial x alpha x^+beta xy welche identisch sein müssen. Das ist für alphafrac beta erfüllt. Eine Funktion für die nabla PhiK gilt muss fracpartial Phipartial x &mustbe K_x x^y+xy^ fracpartial Phipartial y &mustbe K_y fracx^+x^y erfüllen. Die erste Gleichung davon bedeutet Phi fracx^y+fracx^y^ + fy quadmboxdie zweite fracpartial Phipartial y fracx^+x^y + underbracefracpartial fpartial y_ Rightarrow fracmboxdfymboxdy . Somit ist Phi fracx^y+fracx^y^+c.
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Finde Konstanten alpha und beta so dass das Vektorfeld * K leftx^y+xy^alpha x^+beta x^yright * ein Gradientenfeld ist und finde für diese Werte eine Funktion Phi mit nabla PhiK.

Solution:
Die Bedingung dass das Vektorfeld ein Gradientenfeld ist heisst fracpartial K_xpartial ymustbefracpartial K_ypartial x. Das führt auf die beiden Terme fracpartial K_xpartial y x^+xy fracpartial K_ypartial x alpha x^+beta xy welche identisch sein müssen. Das ist für alphafrac beta erfüllt. Eine Funktion für die nabla PhiK gilt muss fracpartial Phipartial x &mustbe K_x x^y+xy^ fracpartial Phipartial y &mustbe K_y fracx^+x^y erfüllen. Die erste Gleichung davon bedeutet Phi fracx^y+fracx^y^ + fy quadmboxdie zweite fracpartial Phipartial y fracx^+x^y + underbracefracpartial fpartial y_ Rightarrow fracmboxdfymboxdy . Somit ist Phi fracx^y+fracx^y^+c.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, gradient, mathematik, potential, vektoranalysis, vektorfeld
Difficulty
(5, default)
Points
5 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Calculative / Quantity
Decoration
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