Exercise:
Sei K ein kompakter metrischer Raum. Dann definiert ||f||_inftytextsup_xin K||fx||_textmax_xin K||fx||_ eine Norm auf CKmathbbR^d die sogenannte Supremumsnorm und CKmathbbR^d ist bezüglich dieser Norm vollständig. Des Weiteren konvergiert f_nin CK bezüglich der Norm ||||_infty gegen fin CK genau dann wenn f_n gleichmässig gegen f konvergiert das heisst wenn es zu jedem epsilon ein Nin mathbbN gibt so dass für alle nin mathbbN mit ngeq N und alle xin X die Abschätzung ||f_nx-fx||_ epsilon gilt.

Solution:
Beweis. Sei f_n_n eine Cauchy-Folge in CKmathbbR^d. Für xin K ist dann wegen ||f_nx-f_mx||_leq ||f_n-f_m||_infty für alle mnin mathbbN die Folge f_nx_n eine Cauchy-Folge in mathbbR^d. Da mathbbR vollständig ist Satz . existiert also der Grenzwert dieser Folge welchen man als fxlim limes_nrightarrow inftyf_nx bezeichnet. Da xin K beliebig war und Grenzwerte eindeutig bestimmt sind definiert dies also eine Funktion f:Krightarrow mathbbR^d. Man behauptet nun dass f_n gleichmässig gegen f strebt. Sei also epsilon . Dann existiert ein Nin mathbbN so dass ||f_mx-f_nx||_leq ||f_m-f_n||_infty epsilon gilt für alle nmgeq N und xin K. Mit mrightarrow infty folgt daraus ||f_nx-fx||_leq epsilon für alle xin X und ngeq N was zu zeigen war. Auch zeigt dies dass ||f_n-f||_inftyleq epsilon für alle ngeq N erfüllt ist. Zuletzt zeigt man noch dass fin CKmathbbR^d ist. Sei also epsilon und Nin mathbbN mit der Eigenschaft ||f_n-f||_inftyleq epsilon. Für jedes x_in K gibt es auf Grund der Stetigkeit von f_N bei x_ ein delta so dass ||f_Nx-fx_||_ leq epsilon für alle xin K mit textdxx_ delta gilt. In Kombination erhält man damit für alle xin K mit textdxx_ delta ||fx-fx_||_leq ||fx-f_Nx||_+||f_Nx-f_Nx_||_+||f_Nx_-fx_||_ leq epsilon Da epsilon beliebig war beweist dies die Stetigkeit von f bei x_in K. Schlusslich zeigt man noch dass f_n für nrightarrow infty genau dann bzgl Norm ||||_infty gegen f strebt wenn f_n für nrightarrow infty gleichmässig gegen f strebt. In der Tat ist die Bedingung ||f_n-f||_inftyleq epsilon zu forall xin X:|f_nx-fx|leq epsilon äquivalent. Setzt man dies in die Definitionen der beiden Konvergenzen ein so erhält man die behauptete Äquivalenz.