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Exercise:
Jeder wegzusammenhänge metrische Raum ist zusammenhäng bf Bsp. mathbbR^d dgeq . Umkehrung gilt nicht unbedingt bf Bsp. Xtimes -sqcuptsinleftfractrightin mathbbR^|t subseteq mathbbR^

Solution:
Beweis Skript. Sei X ein nicht-leerer wegzusammenhänger metrischer Raum und sei xin X fix. Da X wegzusammenhäng ist existiert für jedes yin X ein Weg gamma_y :longrightarrow X von x nach y. Nach Proposition . Bilder zusammenhänger Mengen unter stetigen Abbildungen ist gamma_y für jedes yin X zusammenhäng. Nach Wahl der Wege hat man Xbigcup_limits yin Xgamma_y. Da aber xgamma_yin gamma_y liegt für jedes yin X ist der Schnitt bigcap_limits yin Xgamma_y nicht-leer. Nach Verallgemeinerung von Lemma . Vereinigung von zusammenhängen Teilräumen Schnitt von zwei zsmhgd Teilräumen nicht-leer Vereinigung zsmhgd in Übung . ist also Xbigcup_limits yin Xgamma_y zusammenhäng. In der Tat ist Asubseteq X offen und abgeschlossen und o.B.d.A. xin A dann ist Acap gamma_y offen und abgeschlossen in gamma_y und somit gamma_ysubseteq A für alle yin X. Alternative aus Vorlesung Angenommen seien Asubseteq X und Xbackslash A offen und nicht-leer. Da X wegzusammenhäng ist existiert ein Weg gamma :longrightarrow X von gammain A nach gammain Xbackslash A. Gemäss Proposition . Umkehrfkt auf offene Teilmenge anwen wieder offen sind gamma^-A und gamma^-Xbackslash A offen in und nicht-leer. Daraus folgt dass nicht zusammenhäng ist was einen Widerspruch zu Proposition . nicht-leere Teilmenge von mathbbR genau dann zusammenhäng wenn Intervall darstellt.
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Exercise:
Jeder wegzusammenhänge metrische Raum ist zusammenhäng bf Bsp. mathbbR^d dgeq . Umkehrung gilt nicht unbedingt bf Bsp. Xtimes -sqcuptsinleftfractrightin mathbbR^|t subseteq mathbbR^

Solution:
Beweis Skript. Sei X ein nicht-leerer wegzusammenhänger metrischer Raum und sei xin X fix. Da X wegzusammenhäng ist existiert für jedes yin X ein Weg gamma_y :longrightarrow X von x nach y. Nach Proposition . Bilder zusammenhänger Mengen unter stetigen Abbildungen ist gamma_y für jedes yin X zusammenhäng. Nach Wahl der Wege hat man Xbigcup_limits yin Xgamma_y. Da aber xgamma_yin gamma_y liegt für jedes yin X ist der Schnitt bigcap_limits yin Xgamma_y nicht-leer. Nach Verallgemeinerung von Lemma . Vereinigung von zusammenhängen Teilräumen Schnitt von zwei zsmhgd Teilräumen nicht-leer Vereinigung zsmhgd in Übung . ist also Xbigcup_limits yin Xgamma_y zusammenhäng. In der Tat ist Asubseteq X offen und abgeschlossen und o.B.d.A. xin A dann ist Acap gamma_y offen und abgeschlossen in gamma_y und somit gamma_ysubseteq A für alle yin X. Alternative aus Vorlesung Angenommen seien Asubseteq X und Xbackslash A offen und nicht-leer. Da X wegzusammenhäng ist existiert ein Weg gamma :longrightarrow X von gammain A nach gammain Xbackslash A. Gemäss Proposition . Umkehrfkt auf offene Teilmenge anwen wieder offen sind gamma^-A und gamma^-Xbackslash A offen in und nicht-leer. Daraus folgt dass nicht zusammenhäng ist was einen Widerspruch zu Proposition . nicht-leere Teilmenge von mathbbR genau dann zusammenhäng wenn Intervall darstellt.
Contained in these collections:

Attributes & Decorations
Tags
analysis, eth, fs23, topologie, zusammenhängend
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Difficulty
(3, default)
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0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Creator rk
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