Wegzusammenhängend und zusammenhängend
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
Solution
Short
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Exercise:
Jeder wegzusammenhänge metrische Raum ist zusammenhäng bf Bsp. mathbbR^d dgeq . Umkehrung gilt nicht unbedingt bf Bsp. Xtimes -sqcuptsinleftfractrightin mathbbR^|t subseteq mathbbR^
Solution:
Beweis Skript. Sei X ein nicht-leerer wegzusammenhänger metrischer Raum und sei xin X fix. Da X wegzusammenhäng ist existiert für jedes yin X ein Weg gamma_y :longrightarrow X von x nach y. Nach Proposition . Bilder zusammenhänger Mengen unter stetigen Abbildungen ist gamma_y für jedes yin X zusammenhäng. Nach Wahl der Wege hat man Xbigcup_limits yin Xgamma_y. Da aber xgamma_yin gamma_y liegt für jedes yin X ist der Schnitt bigcap_limits yin Xgamma_y nicht-leer. Nach Verallgemeinerung von Lemma . Vereinigung von zusammenhängen Teilräumen Schnitt von zwei zsmhgd Teilräumen nicht-leer Vereinigung zsmhgd in Übung . ist also Xbigcup_limits yin Xgamma_y zusammenhäng. In der Tat ist Asubseteq X offen und abgeschlossen und o.B.d.A. xin A dann ist Acap gamma_y offen und abgeschlossen in gamma_y und somit gamma_ysubseteq A für alle yin X. Alternative aus Vorlesung Angenommen seien Asubseteq X und Xbackslash A offen und nicht-leer. Da X wegzusammenhäng ist existiert ein Weg gamma :longrightarrow X von gammain A nach gammain Xbackslash A. Gemäss Proposition . Umkehrfkt auf offene Teilmenge anwen wieder offen sind gamma^-A und gamma^-Xbackslash A offen in und nicht-leer. Daraus folgt dass nicht zusammenhäng ist was einen Widerspruch zu Proposition . nicht-leere Teilmenge von mathbbR genau dann zusammenhäng wenn Intervall darstellt.
Jeder wegzusammenhänge metrische Raum ist zusammenhäng bf Bsp. mathbbR^d dgeq . Umkehrung gilt nicht unbedingt bf Bsp. Xtimes -sqcuptsinleftfractrightin mathbbR^|t subseteq mathbbR^
Solution:
Beweis Skript. Sei X ein nicht-leerer wegzusammenhänger metrischer Raum und sei xin X fix. Da X wegzusammenhäng ist existiert für jedes yin X ein Weg gamma_y :longrightarrow X von x nach y. Nach Proposition . Bilder zusammenhänger Mengen unter stetigen Abbildungen ist gamma_y für jedes yin X zusammenhäng. Nach Wahl der Wege hat man Xbigcup_limits yin Xgamma_y. Da aber xgamma_yin gamma_y liegt für jedes yin X ist der Schnitt bigcap_limits yin Xgamma_y nicht-leer. Nach Verallgemeinerung von Lemma . Vereinigung von zusammenhängen Teilräumen Schnitt von zwei zsmhgd Teilräumen nicht-leer Vereinigung zsmhgd in Übung . ist also Xbigcup_limits yin Xgamma_y zusammenhäng. In der Tat ist Asubseteq X offen und abgeschlossen und o.B.d.A. xin A dann ist Acap gamma_y offen und abgeschlossen in gamma_y und somit gamma_ysubseteq A für alle yin X. Alternative aus Vorlesung Angenommen seien Asubseteq X und Xbackslash A offen und nicht-leer. Da X wegzusammenhäng ist existiert ein Weg gamma :longrightarrow X von gammain A nach gammain Xbackslash A. Gemäss Proposition . Umkehrfkt auf offene Teilmenge anwen wieder offen sind gamma^-A und gamma^-Xbackslash A offen in und nicht-leer. Daraus folgt dass nicht zusammenhäng ist was einen Widerspruch zu Proposition . nicht-leere Teilmenge von mathbbR genau dann zusammenhäng wenn Intervall darstellt.
Meta Information
Exercise:
Jeder wegzusammenhänge metrische Raum ist zusammenhäng bf Bsp. mathbbR^d dgeq . Umkehrung gilt nicht unbedingt bf Bsp. Xtimes -sqcuptsinleftfractrightin mathbbR^|t subseteq mathbbR^
Solution:
Beweis Skript. Sei X ein nicht-leerer wegzusammenhänger metrischer Raum und sei xin X fix. Da X wegzusammenhäng ist existiert für jedes yin X ein Weg gamma_y :longrightarrow X von x nach y. Nach Proposition . Bilder zusammenhänger Mengen unter stetigen Abbildungen ist gamma_y für jedes yin X zusammenhäng. Nach Wahl der Wege hat man Xbigcup_limits yin Xgamma_y. Da aber xgamma_yin gamma_y liegt für jedes yin X ist der Schnitt bigcap_limits yin Xgamma_y nicht-leer. Nach Verallgemeinerung von Lemma . Vereinigung von zusammenhängen Teilräumen Schnitt von zwei zsmhgd Teilräumen nicht-leer Vereinigung zsmhgd in Übung . ist also Xbigcup_limits yin Xgamma_y zusammenhäng. In der Tat ist Asubseteq X offen und abgeschlossen und o.B.d.A. xin A dann ist Acap gamma_y offen und abgeschlossen in gamma_y und somit gamma_ysubseteq A für alle yin X. Alternative aus Vorlesung Angenommen seien Asubseteq X und Xbackslash A offen und nicht-leer. Da X wegzusammenhäng ist existiert ein Weg gamma :longrightarrow X von gammain A nach gammain Xbackslash A. Gemäss Proposition . Umkehrfkt auf offene Teilmenge anwen wieder offen sind gamma^-A und gamma^-Xbackslash A offen in und nicht-leer. Daraus folgt dass nicht zusammenhäng ist was einen Widerspruch zu Proposition . nicht-leere Teilmenge von mathbbR genau dann zusammenhäng wenn Intervall darstellt.
Jeder wegzusammenhänge metrische Raum ist zusammenhäng bf Bsp. mathbbR^d dgeq . Umkehrung gilt nicht unbedingt bf Bsp. Xtimes -sqcuptsinleftfractrightin mathbbR^|t subseteq mathbbR^
Solution:
Beweis Skript. Sei X ein nicht-leerer wegzusammenhänger metrischer Raum und sei xin X fix. Da X wegzusammenhäng ist existiert für jedes yin X ein Weg gamma_y :longrightarrow X von x nach y. Nach Proposition . Bilder zusammenhänger Mengen unter stetigen Abbildungen ist gamma_y für jedes yin X zusammenhäng. Nach Wahl der Wege hat man Xbigcup_limits yin Xgamma_y. Da aber xgamma_yin gamma_y liegt für jedes yin X ist der Schnitt bigcap_limits yin Xgamma_y nicht-leer. Nach Verallgemeinerung von Lemma . Vereinigung von zusammenhängen Teilräumen Schnitt von zwei zsmhgd Teilräumen nicht-leer Vereinigung zsmhgd in Übung . ist also Xbigcup_limits yin Xgamma_y zusammenhäng. In der Tat ist Asubseteq X offen und abgeschlossen und o.B.d.A. xin A dann ist Acap gamma_y offen und abgeschlossen in gamma_y und somit gamma_ysubseteq A für alle yin X. Alternative aus Vorlesung Angenommen seien Asubseteq X und Xbackslash A offen und nicht-leer. Da X wegzusammenhäng ist existiert ein Weg gamma :longrightarrow X von gammain A nach gammain Xbackslash A. Gemäss Proposition . Umkehrfkt auf offene Teilmenge anwen wieder offen sind gamma^-A und gamma^-Xbackslash A offen in und nicht-leer. Daraus folgt dass nicht zusammenhäng ist was einen Widerspruch zu Proposition . nicht-leere Teilmenge von mathbbR genau dann zusammenhäng wenn Intervall darstellt.
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